Softonic

เครื่องคำนวณอินทิกรัลสามมิติ

ขั้นตอน 1 / 4 Triple integral

อินทิกรัลสามมิติใช้คำนวณปริมาตร มวล และฟลักซ์ในพื้นที่สามมิติ ซึ่งเป็นประเภทของปัญหาที่พื้นที่แบบคาร์ทีเซียน เช่น กล่อง มีขอบเขตชัดเจน แต่กรณีของสสารแข็งที่อยู่ระหว่างพาราโบลอยด์สองตัวจำเป็นต้องกำหนดลำดับการอินทิเกรตอย่างระมัดระวัง เครื่องคำนวณนี้สามารถคำนวณ ∭f(x, y, z) dV ภายในขอบเขตที่คุณกำหนด รองรับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน พิกัดทรงกระบอก และพิกัดทรงกลม พร้อมแสดงขั้นตอนการหาอนติเดอริเวทีฟแต่ละขั้นอย่างละเอียด

วิธีการคำนวณอินทิกรัลสามมิติ

  1. 1

    ให้ค่าของฟังก์ชัน f(x, y, z)

    ตัวแปรที่นำมาคำนวณ ใช้สัญลักษณ์มาตรฐานดังนี้: x*y*z, x²+y², sin(x)·cos(y)

  2. 2

    เลือกระบบพิกัด

    รูปแบบการแทนค่าตามพิกัดคือ แบบคาร์ทีเซียน (dx, dy, dz), แบบกระบอกทรงกลม (r, dr, dθ, dz) หรือแบบทรงกลม (ρ² sin(φ), dρ, dφ, dθ)

  3. 3

    ตั้งขอบเขต

    สำหรับตัวแปรทั้งสามตัว แต่ละตัวจะเป็นค่าคงที่ หรือเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอื่นๆ

  4. 4

    เลือกลำดับการรวม

    zdzydx, dxdydz ฯลฯ การเลือกตัวแปรเหล่านี้สามารถทำให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้นอย่างมาก

  5. 5

    ดูการประเมินแบบขั้นตอนต่อขั้นตอน

    เริ่มจากอินทิกรัลภายใน จากนั้นคืออินทิกรัลในส่วนกลาง และสุดท้ายคืออินทิกรัลภายนอก โดยใช้ฟังก์ชันอนติเดรเวทีฟในแต่ละขั้นตอน

ระบบพิกัดทั้งสามมีจุดประสงค์อะไร

ระบบ องค์ประกอบของปริมาตร เหมาะสมที่สุดสำหรับ
คาร์ทีเซียน dx dy dz กล่อง ทรงพีระมิด และบริเวณทั่วไปที่ไม่สมมาตร
ทรงกระบอก r dr dθ dz ทรงกระบอก ทรงกรวย และพื้นผิวโค้งแบบหมุน
ทรงกลม ρ² sin(φ) dρ dφ dθ ลูกบอล, ส่วนของทรงกลม, ปัญหาทางแรงโน้มถ่วง

การใช้ระบบคำนวณที่ไม่เหมาะสมจะทำให้ผลลัพธ์จากการหาอินทิกรัลมีความซับซ้อนและยากลำบากอย่างมาก ตัวอย่างเช่น การหาค่าของฟังก์ชันที่มีรัศมีเท่ากับ 1 ในระบบคาร์ทีเซียน จะได้ขอบเขตที่ซับซ้อนในรูป √(1 − x² − y²) แต่เมื่อนำมาคำนวณในระบบทรงกลม ขอบเขตนี้จะกลายเป็น ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ ซึ่งมีรูปร่างเรียบง่ายและสามารถแยกส่วนได้อย่างชัดเจน

ปัญหาทั่วไป

การเปลี่ยนลำดับการรวม

สำหรับพื้นที่ที่ขอบด้านในไม่สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของตัวแปรด้านนอกได้อย่างชัดเจน การสลับลำดับการคำนวณมักจะช่วยให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้น ให้วาดรูปภาพของพื้นที่นั้น แล้วฉายภาพลงบนระนาบภายใน-ภายนอกที่ต้องการ จากนั้นคำนวณขอบเขตใหม่อีกครั้ง

ตัวอย่างที่ใช้งานจริง: ปริมาตรของทรงกลม

ในระบบพิกัดทรงกลม ลูกบอลหน่วย {x² + y² + z² ≤ 1}

V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
  = ∫₀²π (2/3) dθ
  = 4π/3

ค่าที่มีชื่อเสียง V = (4/3)πr³ ถูกลบออกไปอย่างเป็นระบบในสามขั้นตอน — ในระบบคาร์ทีเซียน การคำนวณอินทิกรัลเดียวกันนี้อาจต้องใช้หลายหน้า

วิธีการทดแทนแบบใช้ค่าตัวเลข

อินทิกรัลบางตัวไม่มีอนติเดอริเวทีฟในรูปแบบปิด เมื่อการคำนวณอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์ล้มเหลว เครื่องคalkulator จะเปลี่ยนมาใช้วิธีการคำนวณเชิงตัวเลขแทน และให้ค่าประมาณพร้อมกับค่าประมาณของความคลาดเคลื่อน

คำถามที่พบบ่อย

โดยทั่วไปแล้ว ขอบเขตที่กำหนดมักจะผิดพลาด ขอบเขตของอินทิกรัลสามชั้นอาจขึ้นอยู่กับตัวแปรภายใน และการเรียงลำดับตัวแปรผิดอาจทำให้อินทิกรัลที่ได้มีค่าทางคณิตศาสตร์แตกต่างกัน ควรเริ่มจากการวาดภาพพื้นที่ก่อน จากนั้นจึงคำนวณขอบเขตนั้นอย่างระมัดระวัง

เครื่องคำนวณจะเปลี่ยนไปใช้วิธีการทางตัวเลข (การประมาณแบบปรับตัว) โดยให้ผลลัพธ์เป็นค่าตัวเลขพร้อมขอบเขตของความคลาดเคลื่อน แทนที่จะเป็นสูตรหรือรูปแบบสัญลักษณ์

รูปทรงทรงกลม เมื่อพื้นที่มีความสมมาตรสามมิติเต็มรูปแบบรอบจุดหนึ่ง (เช่น ลูกบอล หรือกรวยที่เริ่มจากจุดเดียวกัน) รูปทรงทรงกระบอก เมื่อมีความสมมาตรตามแนวแกน (เช่น ทรงกระบอก หรือพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนรอบแกน) และรูปทรงคาร์ทีเซียน เมื่อไม่มีความสมมาตรใดๆ

ไม่ การคำนวณทั้งหมดจะดำเนินการภายในเบราว์เซอร์ของคุณ