เครื่องคำนวณรากที่สอง
กรุณาป้อนจำนวนบวก แล้วเครื่องคำนวณจะแสดงรากที่สองในรูปส่วนทศนิยมถึง 15 หลัก และเมื่อเป็นไปได้ จะแสดงรูปแบบรากที่สองแบบเรียบง่ายอย่างแม่นยำด้วย เช่น √72 จะแสดงเป็น 6√2 และ √200 จะแสดงเป็น 10√2 สำหรับจำนวนที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะได้ผลเป็นจำนวนเต็ม ส่วนจำนวนลบจะแสดงในรูป i โดยไม่รวมหน่วยจินตภาพ
วิธีการคำนวณราก
-
1
ป้อนค่ารากฐาน
ตัวเลขที่อยู่ใต้รากฐาน ซึ่งอาจเป็นค่าบวก ค่าลบ หรือศูนย์
-
2
รูปแบบเลขทศนิยม
คำนวณโดยใช้คำสั่งหาค่ารากที่สองตามมาตรฐาน IEEE 754 — มีความแม่นยำถึง 15 หลักที่สำคัญ
-
3
รูปแบบรากฐานที่ย่อ
แยกตัวประกอบที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ออก √72 = √(36 × 2) = 6√2
-
4
แสดงการทำงาน
มีการแสดงกระบวนการแยกตัวประกอบทีละขั้นตอน เพื่อให้คุณสามารถทำซ้ำด้วยตนเองได้
รูปสี่เหลี่ยมสมมาตรที่ควรรู้
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
การทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านสองที่ไม่สมบูรณ์มีลักษณะง่ายขึ้น
เคล็ดลับคือการหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์และมีขนาดใหญ่ที่สุด
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
หากผลลัพธ์ยังมีค่าที่ไม่ใช่รูปกำลังสอง ให้ทำซ้ำดังนี้: √180 = √(36 × 5) = 6√5 ไม่ใช่ √(4 × 45) = 2√45 (ซึ่งยังไม่ได้ถูกแยกตัวอย่างสมบูรณ์)
ค่าสิบฐานทั่วไป
- √2 ≈ 1.41421 (ของพีทาโกรัสในสี่เหลี่ยมหนึ่งหน่วย)
- √3 ≈ 1.73205 (เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์)
- √5 ≈ 2.23607 (ปรากฏในอัตราส่วนทองคำ (1 + √5)/2)
- √7 ≈ 2.64575
- √π ≈ 1.77245 (ใช้ในสถิติและการคำนวณอินทิกรัลแบบเกาส์เซียน)
- √10 ≈ 3.16228
- √(1000) ≈ 31.6228 (การเพิ่มค่า √ เป็น 10 เท่า จะทำให้ค่าประมาณเพิ่มขึ้นประมาณ 3.16 เท่า)
จำนวนลบและจำนวนจินตภาพ
รากที่สองของจำนวนลบไม่มีนิยามในจำนวนจริง แต่ในจำนวนเชิงซ้อน จะมีค่า √(−x) = i√x โดยที่ x เป็นจำนวนบวก ดังนั้น √(−4) = 2i เครื่องคำนวณจะแสดงผลในรูปแบบจินตภาพแทนที่จะเป็นค่าส่วนทศนิยมสำหรับค่าลบ
รากที่สองเทียบกับรากที่ n
เครื่องคำนวณสามารถดำเนินการหาค่ารากที่สองของจำนวนเต็มได้ ส่วนการหาค่ารากที่สาม รากที่สี่ และอื่นๆ ให้ใช้เครื่องมือสำหรับหาค่ารากที่ n โดยทั่วไป ข้อมูลพื้นฐานสำคัญ:
- √(ab) = √a × √b (เฉพาะเมื่อ a และ b เป็นค่าไม่ลบ)
- √(a/b) = √a / √b (เฉพาะเมื่อ b > 0)
- (√a)² = a (เฉพาะเมื่อ a ≥ 0)
ตัวชี้ตำแหน่งประวัติศาสตร์
สัญลักษณ์ราก √ เกิดขึ้นจากตัวอักษร r (สำหรับ radix ซึ่งหมายถึงคำว่า “root” ในภาษาละติน) ในช่วงศตวรรษที่ 16 โดยมีการเพิ่มเส้นแนวนอน (vinculum) เข้ามาในศตวรรษที่ 17 เพื่อกำหนดขอบเขตของส่วนที่อยู่ใต้ราก
คำถามที่พบบ่อย
จำนวนบวกทุกจำนวนมีรากที่สองสองค่า ได้แก่ +x และ −x โดยรากหลัก (คือรากที่ไม่เป็นลบ) คือสิ่งที่ √ มักใช้หมายถึง ส่วนสมการกำลังสองจะใช้ทั้งสองรูปแบบนี้
โดยทั่วไปจะใช้ค่า 5 เท่านั้น √ จะคืนค่ารากหลัก (ซึ่งเป็นจำนวนไม่ลบ) เมื่อแก้สมการ x² = 25 ทั้ง 5 และ −5 เป็นคำตอบที่ถูกต้อง ดังนั้นจึงเขียนได้ว่า x = ±5
วิธีการทางประวัติศาสตร์ ได้แก่ อัลกอริทึมการหารแบบยาวตามหลักเลขทีละหลัก วิธีนิวตัน (แบบวนซ้ำ: x_new = (x + a/x)/2) หรือการแยกตัวประกอบและทำให้เรียบง่ายสำหรับรากของจำนวนที่มีค่ากำลังสองสมบูรณ์เป็นจำนวนมาก วิธีนิวตันสามารถเข้าใกล้ค่าคำตอบได้อย่างรวดเร็ว โดยเพียงสามรอบของการวนซ้ำก็ให้ความแม่นยำถึง 10 หลักสำหรับข้อมูลส่วนใหญ่
ชาวกรีกได้พิสูจน์เรื่องนี้ด้วยการขัดแย้ง: หาก √2 เท่ากับ p/q ในรูปแบบเศษส่วนต่ำสุด จะได้ว่า 2q² = p² ซึ่งหมายความว่า p เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น p = 2k และจากนั้น 2q² = 4k² ส่งผลให้ q² = 2k² ทำให้ q ก็เป็นจำนวนคู่เช่นกัน — ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐาน lowest terms ดังนั้น √2 จึงไม่สามารถเป็นเศษส่วนได้ และจัดว่าเป็นจำนวนไม่ hữu tỉ