เครื่องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

สิ่งที่ดีเทอร์มิแนนต์บอกคุณ

• ไม่เป็นศูนย์: เมทริกซ์หาผกผันได้ คอลัมน์ของมันเป็นอิสระเชิงเส้น และนิยามการส่งเชิงเส้นแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
• ศูนย์: เมทริกซ์เป็นเมทริกซ์เอกฐาน คอลัมน์ขึ้นต่อกันเชิงเส้น และการส่งทำให้มิติหายไปอย่างน้อยหนึ่งมิติ
• เครื่องหมาย: ค่าบวกหมายถึงการส่งเชิงเส้นรักษาทิศทางไว้ ค่าลบหมายถึงพลิกทิศทาง (เหมือนภาพในกระจก)
• ขนาด: |det(A)| คือตัวประกอบที่การส่งใช้ปรับสเกลปริมาตร n มิติ เมทริกซ์ 2×2 ที่มี det = 3 จะขยายพื้นที่เป็น 3 เท่า ส่วน det = −2 จะขยายพื้นที่เป็น 2 เท่าและพลิกกลับด้าน

กรณีเล็ก: คำนวณด้วยมือ

2×2:

det([[a, b], [c, d]]) = a·d − b·c

3×3 (กฎของซาร์รัส):

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) สำหรับ [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]

กรณีใหญ่: ใช้ LU

การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ 4×4 ด้วยการกระจายโคแฟกเตอร์ด้วยมือต้องคูณ 4! = 24 ครั้ง ส่วน 6×6 ต้องคูณ 720 ครั้ง การแยก LU ลดงานลงเหลือ O(n³) โดยแยก A = LU เมื่อ L เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่มี 1 บนเส้นทแยงมุม และ U เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน จากนั้น det(A) = det(L)·det(U) = ∏ u_ii

สมบัติที่ควรรู้

• det(AB) = det(A)·det(B)
• det(A^T) = det(A)
• det(A^−1) = 1 / det(A)
• det(kA) = k^n · det(A) สำหรับเมทริกซ์ n×n
• การสลับสองแถวจะเปลี่ยนเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์
• การนำผลคูณของแถวหนึ่งไปบวกกับอีกแถวหนึ่งไม่เปลี่ยนค่าดีเทอร์มิแนนต์
• ถ้าแถวใด (หรือคอลัมน์ใด) เป็นศูนย์ทั้งหมด ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับศูนย์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ลืมรูปแบบเครื่องหมาย ในการกระจายโคแฟกเตอร์: + − + − + − ... โคแฟกเตอร์ตำแหน่ง (i,j) เท่ากับ (−1)^(i+j) คูณด้วยไมเนอร์
• กระจายตามแถวที่มีสมาชิกไม่เป็นศูนย์ ทั้งที่มีแถวซึ่งมีศูนย์สามตัว ควรเลือกแถวหรือคอลัมน์ที่มีศูนย์มากที่สุดเพื่อให้คำนวณง่ายขึ้น
• สมมติว่า det(A+B) = det(A) + det(B) ซึ่งไม่จริง ดีเทอร์มิแนนต์มีสมบัติการคูณ ไม่ใช่การบวก