เครื่องคำนวณอินทิกรัล
กรุณาป้อนสูตรใน x (หรือตัวแปรใดๆ) แล้วเครื่องคำนวณจะให้ผลลัพธ์เป็นอนติเดอริเวทีฟเชิงสัญลักษณ์ หรือค่าตัวเลขในช่วงที่กำหนด รองรับฟังก์ชันพหุนาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันลอการิทึม และฟังก์ชันเศษส่วน รวมถึงการแทนค่าและการอินทิเกรตแบบแบ่งส่วน โดยจะแสดงขั้นตอนการทำงานอย่างชัดเจนหากคุณต้องการตรวจสอบผลการคำนวณ
วิธีการประเมินค่าอินทิกรัล
-
1
ป้อนตัวแปรในนิพจน์ที่จะถูกอินทิเกรต
ให้เขียนฟังก์ชันในรูปแบบ `x^2 + 3*sin(x)` หรือ `1 / (x^2 + 1)` โดยการคูณโดยอ้อมที่มีช่องว่างระหว่างตัวเลขสามารถยอมรับได้
-
2
เลือกระหว่างแบบแน่นอนหรือแบบไม่แน่นอน
สำหรับอินทิกรัลแบบแน่นอน ให้กำหนดขอบเขตด้านล่างและด้านบน (คือช่วง `inf` และ `-inf`)
-
3
คำนวณ
เครื่องมือนี้จะพยายามหาคำตอบในรูปแบบสัญลักษณ์ก่อน หากไม่สำเร็จ จะเปลี่ยนมาใช้วิธีการคำนวณเชิงตัวเลขแทน
-
4
อ่านขั้นตอนต่างๆ
การขยายอย่างค่อยเป็นค่อยไปแบบเลือกใช้สามารถแสดงกระบวนการแทนที่ การอินทิเกรตตามส่วน หรือการแยกเป็นเศษส่วนบางส่วนได้
สารต้านอนุพันธ์ทั่วไป
| f(x) | ค่าอินทิกรัล |
|---|---|
| x^n (n != -1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| กำลังสองของ x | เท่ากับ tan(x) + C |
| 1 / (x^2 + 1) | arctan (x) + C |
| 1 / sqrt (1 - x^2) | arcsin (x) + C |
เทคนิคที่เครื่องมือพยายามใช้ เพื่อจัดลำดับ
- กฎพื้นฐาน — พลัง ชี้กำลัง และตรีโกณมิติ
- การแทนที่ (u-sub) — หาค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันในตัวถูกบวก
- การรวมโดยส่วนประกอบ —
∫u dv = uv - ∫v duสำหรับผลิตภัณฑ์ที่มีประเภทฟังก์ชันแตกต่างกัน - เศษส่วนบางส่วน — สำหรับตัวแปรที่เป็นเศษส่วนในอินทิกรัล
P(x)/Q(x)และdeg(P) < deg(Q) - สมการตรีโกณมิติ — สำหรับผลคูณของไซน์และโคไซน์
- การคำนวณแบบควอดราเจอร์เชิงตัวเลข — วิธีเกาส์-ครอนโรดสำหรับการอินทิเกรตที่มีค่าจำกัด เมื่อไม่มีรูปแบบสมการที่สามารถหาได้โดยตรง
สัญลักษณ์ของการคำนวณอินทิกรัลจำกัด
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
ทฤษฎีบทพื้นฐานระบุว่า หาก $ F $ เป็นอนติแอดิเรเวทีฟของ $ f $ ค่าอินทิกรัลจำกัดจาก $ a $ ถึง $ b $ จะเท่ากับ $ F(b) - F(a) $ เครื่องมือนี้จะคำนวณค่า $ F $ ก่อน จากนั้นจึงแทนค่าที่ขอบเขต
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
- ยกเลิกการใช้สัญลักษณ์
+ Cอนุพันธ์อินทิกรัลแบบไม่จำกัดทุกชนิดล้วนมีค่าคงที่ในการคำนวณ การเครื่องมือนี้จะแสดงค่านี้ให้เห็นโดยอัตโนมัติ แต่นักเรียนที่เขียนด้วยมือมักจะลืมค่านี้ - ขอบเขตที่ไม่ถูกต้องสำหรับอินทิกรัลแบบไม่เหมาะสม: คือ
∫_0^∞ e^(-x) dx = 1แต่ควรใช้∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π)โดยต้องตรวจสอบความเข้มข้นของผลลัพธ์เสมอ - ควรใช้อาร์คแทน (arctan) แทนอาร์คแทนฮ์ (arctanh) เมื่อตัวหารมีรูปแบบเป็น
(x-a)(x-b)และมีรากจริง โดยที่รากดังกล่าวเป็นลอการิทึม ไม่ใช่อาร์คแทน - ลืมกฎโซ่ในการแทนค่าด้วยตัวแปรอื่น หาก
u = 3xหมายถึงdu = 3 dxไม่ใช่du = dx
เมื่อไม่มีรูปแบบที่สมบูรณ์
อินทิกรัลบางตัวไม่มีอนุพันธ์เบื้องต้นเลย เช่น e^(-x^2), sin(x)/x และ 1/ln(x) อย่างไรก็ตาม ในช่วงเวลาเฉพาะ อินทิกรัลเหล่านี้ยังคงมีค่าเชิงตัวเลข ซึ่งเครื่องมือจะคำนวณได้อย่างแม่นยำสูง
คำถามที่พบบ่อย
สำหรับอินทิกรัลที่มีค่าแน่นอน เครื่องมือนี้จะใช้วิธีการคำนวณเชิงตัวเลขแบบควอดราคิวร์ (Gauss-Kronrod) และแสดงค่าผลลัพธ์พร้อมกับค่าประมาณของความคลาดเคลื่อน ส่วนสำหรับอินทิกรัลที่ไม่มีค่าอนุพันธ์พื้นฐาน เครื่องมือจะแจ้งข้อมูลดังกล่าวและเสนอรูปแบบการขยายเป็นอนุกรมเป็นทางเลือก
ใช่ ให้ห่อคำสั่งเพื่อชี้แจงความหมายของตัวแปร เช่น integrate(t^2, t) ตัวแปรที่ประกอบด้วยตัวอักษรเดียวสามารถใช้ได้
ใช่ ให้เปิดหรือปิดตัวเลือก “แสดงขั้นตอน” เพื่อให้เครื่องมือพิมพ์ผลลัพธ์ของการแทนที่ การเลือกชิ้นส่วน หรือการแยกเป็นเศษส่วนบางส่วนที่ใช้ โดยพิมพ์แต่ละบรรทัดตามลำดับ
ใช่ แต่คุณอาจจำเป็นต้องแบ่งช่วงเวลาตามจุดที่ค่าเปลี่ยนจากศูนย์ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ชัดเจนยิ่งขึ้น เครื่องมือนี้สามารถประมวลผลข้อมูล \|x\| ได้โดยการตรวจจับเครื่องหมายของค่าอย่างอัตโนมัติเมื่อเป็นไปได้