Softonic

เครื่องแก้สมการลูกบาศก์

ขั้นตอน 1 / 3 แก้สมการ ax³ + bx² + cx + d = 0
ถัดไป

สมการกำลังสามมีรูปทั่วไปเป็น ax³ + bx² + cx + d = 0 และจะมีรากสามตัวเสมอในชุดจำนวนเชิงซ้อน ให้ป้อนค่าสัมประสิทธิ์ทั้งสี่ตัว โปรแกรมจะคำนวณค่ารากโดยใช้สูตรของคาร์ดานโน ดังนี้: มีรากจริงสามตัวเมื่อค่าตัวแยกแยะไม่เป็นบวก มีรากจริงหนึ่งตัวพร้อมคู่รากเชิงซ้อนเมื่อค่าตัวแยกแยะเป็นบวก และมีรากซ้อนสองตัวเมื่อค่าตัวแยกแยะเท่ากับศูนย์

วิธีที่โปรแกรมแก้ปัญหาค้นหาราก

  1. 1

    ป้อนค่าของตัวแปร

    จำนวนสี่ตัว ได้แก่ a, b, c และ d โดยสัมประสิทธิ์หลัก a ต้องไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นสมการจะจัดอยู่ในประเภทกำลังสอง แทนที่จะเป็นกำลังสาม

  2. 2

    สมการลูกบาศก์แบบลดรูป

    ตัวแก้สมการจะเลื่อนสมการด้วยค่า -b/(3a) เพื่อกำจัดพจน์กำลังสอง จนได้รูปแบบ `t³ + pt + q = 0`

  3. 3

    การตรวจสอบค่าตัวจำแนก

    สมการ Δ = (q/2)² + (p/3)³ เป็นตัวกำหนดเส้นทางของราก: หาก Δ > 0 จะได้รากจริงหนึ่งตัว; หาก Δ = 0 จะได้รากซ้อนหนึ่งตัว; และหาก Δ < 0 จะได้รากจริงสามตัวโดยใช้ตรีโกณมิติ

  4. 4

    ย้อนกลับการเปลี่ยนตำแหน่ง

    รากแต่ละตัวที่พบในพื้นที่ t จะถูกเลื่อนตำแหน่งไปทางลบเป็น -b/(3a) เพื่อให้ได้ค่า x กลับมา โดยโปรแกรมแก้ปัญหาจะแสดงผลลัพธ์เหล่านี้ในลำดับลดลง หากเหมาะสม

กรณีของตัวแยกแยะและความหมาย

วิธีการของคาร์ดานโนจะดำเนินไปตามหนึ่งในสามสาขา ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของตัวแยกแยะ Δ = (q/2)² + (p/3)³ โดยรูปทรงเรขาคณิตของกราฟแบบลูกบาศก์สะท้อนลักษณะนี้ได้อย่างแม่นยำ

ตารางกรณี

ตัวแยกแยะ ราก รูปร่างกราฟ
Δ > 0 ค่าจริง 1 ค่า และค่าซ้อนที่เป็นคู่สมบูรณ์อีก 2 ค่า ตัดแกน x เพียงครั้งเดียว
Δ = 0 มีค่าจริง 3 ค่า โดยอย่างน้อยสองค่าต้องเท่ากัน ตัดแกน x ที่จุดรากคู่
Δ < 0 มีรากจริง 3 ค่าที่แตกต่างกัน เข้าตัดแกน x สามครั้ง

ตัวอย่างที่ใช้งานจริง

สำหรับสมการ x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (สัมประสิทธิ์คือ 1, −6, 11, −6):

  • เลื่อนด้วย −b/(3a) = 2 เพื่อให้ได้รูปแบบลดรูป: p = −1, q = 0
  • Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0 ดังนั้นจึงใช้เส้นทางรากจริงสามตัว (แบบตรีโกณมิติ)
  • สูตรตรีโกณมิติให้รากจริงที่แตกต่างกันสามตัว คือ x = 1, 2, 3

ข้อพิจารณาเชิงตัวเลข

  • ข้อผิดพลาดแบบจุดลอยจะเกิดขึ้นเมื่อค่ารากทั้งสามอยู่ใกล้กันมาก (เรียกว่า “รากเกือบสามตัว”) ค่ารากที่แสดงอาจแตกต่างจากค่าจริงในหลักทศนิยมไม่กี่หลักสุดท้าย
  • เมื่อค่า a มีขนาดเล็กมาก จะทำให้ b/(3a) มีค่าสูงขึ้น ซึ่งส่งผลให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ผิดพลาดและลดความแม่นยำลง หากค่า |a| ต่ำกว่าประมาณ 1e-12 ควรแก้สมการในรูปแบบสมการกำลังสองแทน
  • ค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเต็มให้ผลลัพธ์ที่ชัดเจนที่สุด: รากของเศษส่วนจะปรากฏในค่าที่แท้จริง โดยอาจมีการปัดเศษส่วนตามหลักการของจุดลอยได้

สูตรที่เกี่ยวข้อง

  • แบบกำลังสอง: ax² + bx + c = 0 ใช้เครื่องแก้สมการกำลังสอง – ในรูปแบบปิดและง่ายกว่า
  • ควอร์ติก: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 วิธีการของเฟอร์รารีสามารถลดรูปได้เป็นสมการลูกบาศก์แบบรีโซลเวนต์ ไม่ได้กล่าวถึงในที่นี้
  • สมการลูกบาศก์แบบลดรูป: ตั้งค่า b = 0 เพื่อข้ามขั้นตอนการเลื่อนตำแหน่ง แล้วป้อน x³ + px + q = 0 โดยตรง

คำถามที่พบบ่อย

สมการนี้ไม่ใช่สมการกำลังสามอีกต่อไป ในกรณีดังกล่าวโปรแกรมแก้สมการจะไม่ดำเนินการต่อ โปรดเปลี่ยนมาใช้เครื่องมือแก้สมการเชิงกำลังสองสำหรับ bx² + cx + d = 0

ในกรณีนี้ โปรแกรมแก้ปัญหาจะคืนรากจริงเพียงหนึ่งตัว ส่วนรากอีกสองตัวเป็นคู่รากซ้อนที่สูตรของคาร์ดานโนให้ไว้ในรูปแบบปิด หากต้องการใช้รากเหล่านี้สำหรับคำตอบเชิงสัญลักษณ์ ให้คำนวณเป็น -x1/2 ± (√3/2) × i × ค่าสัมบูรณ์

การนำไปใช้ในเชิงตัวเลขของวิธีการของคาร์ดาโนอาจก่อให้เกิดค่าส่วนเหลือในระดับประมาณ 1e-15 เนื่องจากการปัดเศษในระบบจุดลอยตัว ควรถือว่าค่าใดๆ ที่ต่ำกว่า 1e-10 เป็นค่าจริง; โปรแกรมแก้ปัญหานี้ได้ทำการกรองค่าส่วนเหล่านั้นออกไปแล้วสำหรับสาขาที่ Δ < 0

สัมประสิทธิ์ทั้งสี่จะถูกส่งไปยังเซิร์ฟเวอร์เพื่อคำนวณรากเท่านั้น และไม่ถูกจัดเก็บ เมื่อใช้มุมมองทีละขั้นตอน สัมประสิทธิ์จะปรากฏในลิงก์ของหน้าด้วย

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

เครื่องคำนวณแมโคร

แปลงเป้าหมายแคลอรีต่อวันและเปอร์เซ็นต์แมโครเป็นกรัมของโปรตีน คาร์โบไฮเดรต และไขมัน พร้อมตัวเลือกแบบสมดุล โปรตีนสูง เพิ่มกล้ามเนื้อ และคาร์โบไฮเดรตต่ำ

เครื่องคำนวณแคลอรีที่เผาผลาญ

ประมาณแคลอรีที่คุณเผาผลาญระหว่างออกกำลังกายจากน้ำหนักตัว ชนิดกิจกรรม และระยะเวลา โดยใช้ค่า MET ที่อ้างอิงหลักวิทยาศาสตร์

เครื่องคำนวณค่า eGFR

ประเมิน eGFR จากครีอะตินีนในซีรัม อายุ และเพศ ด้วยสมการครีอะตินีน CKD-EPI 2021 ที่ไม่ใช้ปัจจัยเชื้อชาติ ผลลัพธ์เป็น mL/min/1.73 m²

เครื่องคำนวณขนาดตู้ปลา

คำนวณปริมาตรตู้ปลาเป็นแกลลอนสหรัฐและลิตรจากขนาดด้านในของตู้เป็นนิ้ว พร้อมน้ำหนักของน้ำเมื่อเติมเต็มเป็นปอนด์และกิโลกรัม

เครื่องคำนวณระยะเวลา

คำนวณระยะเวลาระหว่างสองเวลาเป็น HH:MM ชั่วโมงทศนิยม นาที และวินาที

เครื่องคำนวณ ANOVA

ทำ one-way ANOVA กับสองกลุ่มขึ้นไปเพื่อทดสอบว่าค่าเฉลี่ยต่างกันอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ พร้อมรายงาน F-statistic องศาอิสระ ค่าเฉลี่ยกำลังสอง และผลรวมกำลังสอง

เครื่องมือนี้มีให้บริการในภาษาอื่น