เครื่องคำนวณผลคูณไขว้

สูตร

สำหรับเวกเตอร์ A = (ax, ay, az) และ B = (bx, by, bz) ผลคูณไขว้คือ:

A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)

แต่ละองค์ประกอบเป็นดีเทอร์มิแนนต์ขนาด 2×2 ของอีกสองแกน โดยกลับเครื่องหมายของพจน์กลาง วิธีช่วยจำที่สะดวกคือการกระจายดีเทอร์มิแนนต์ไปตามเวกเตอร์หนึ่งหน่วย i, j, k

ตัวอย่างการคำนวณ

ให้ A = (1, 2, 3) และ B = (4, 5, 6):

• x: ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
• y: az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
• z: ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3

ดังนั้น A × B = (−3, 6, −3) ขนาดของมันคือ √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7.348 คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าผลลัพธ์ตั้งฉาก: A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0 ✓

สมบัติสำคัญ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ลำดับมีความสำคัญ การสลับเวกเตอร์จะกลับเครื่องหมายของทุกองค์ประกอบ เพราะผลคูณไขว้มีสมบัติสลับที่ตรงข้าม
• ผลคูณไขว้มีเฉพาะใน 3 มิติ ต่างจากผลคูณจุด A × B นิยามไว้สำหรับเวกเตอร์สามมิติ (มีรูปคล้ายใน 7 มิติ แต่แทบไม่ได้ใช้) สำหรับเวกเตอร์ 2 มิติ ให้เติมองค์ประกอบ z ที่ขาดด้วย 0
• เครื่องหมายของพจน์กลาง องค์ประกอบ y คือ az·bx − ax·bz ไม่ใช่ ax·bz − az·bx โดยพจน์ j ถูกลบในการกระจายดีเทอร์มิแนนต์ และตรงนี้เองที่เกิดข้อผิดพลาดส่วนใหญ่ในการคำนวณด้วยมือ
• เวกเตอร์ขนานกันให้ค่าศูนย์ ถ้า A และ B ชี้ไปทางเดียวกัน (θ = 0) ผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์ศูนย์ เพราะ sin(0) = 0