เครื่องคำนวณการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ทำให้ดู: 2x² + 8x + 5

ขั้นที่ 1, ดึง a = 2 ออกจากพจน์ของ x: 2(x² + 4x) + 5

ขั้นที่ 2, ครึ่งหนึ่งของ 4 คือ 2 ยกกำลังสองได้ 4 บวกและลบ 4 ภายในวงเล็บ: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5

ขั้นที่ 3, แยกเป็นกำลังสองสมบูรณ์กับส่วนที่เหลือ: 2((x + 2)² − 4) + 5

ขั้นที่ 4, กระจาย 2: 2(x + 2)² − 8 + 5

ขั้นที่ 5, ทำให้ค่าคงที่ง่ายขึ้น: 2(x + 2)² − 3

รูปจุดยอด: a = 2, h = −2, k = −3 → จุดยอดที่ (−2, −3)

สูตรทั่วไป

สำหรับ ax² + bx + c:

• h = −b / (2a)
• k = c − b² / (4a)
• รูปจุดยอด: a(x − h)² + k

ทำไมจึงทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์?

• หาจุดยอดได้ทันที สำหรับการร่างกราฟพาราโบลา
• แก้สมการกำลังสอง โดยไม่ต้องใช้สูตรกำลังสอง มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับรากอตรรกยะ
• หาที่มาของสูตรกำลังสองเอง: การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์บน ax² + bx + c = 0 ได้ผลลัพธ์ x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
• แคลคูลัส: หาค่าสุดขีดของสมการกำลังสองโดยไม่ต้องหาอนุพันธ์
• การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: ความสูงสูงสุดของลูกบอลที่ถูกโยนขึ้นคือค่า k ในรูปจุดยอดของสมการความสูง
• วงกลมและภาคตัดกรวย: การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งพจน์ x และ y จะแปลง x² + y² + Dx + Ey + F = 0 เป็น (x−h)² + (y−k)² = r² ทำให้จุดศูนย์กลางและรัศมีชัดเจน

เรขาคณิตของพาราโบลาจากรูปจุดยอด

• จุดยอด: (h, k)
• แกนสมมาตร: x = h
• เปิดขึ้นด้านบน ถ้า a > 0 และเปิดลงด้านล่างถ้า a < 0
• ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน: k
• ความกว้าง: แคบลงเมื่อ |a| > 1 และกว้างขึ้นเมื่อ |a| < 1
• ราก (ถ้าเป็นจำนวนจริง): x = h ± √(−k/a) เป็นจำนวนจริงเฉพาะเมื่อ k/a ≤ 0

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ลืมกระจาย a หลังการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ภายในวงเล็บ พจน์ปรับแก้จะเปลี่ยนไป
• ผิดเครื่องหมายที่ b/(2a): h = −b/(2a) ไม่ใช่ +b/(2a)
• ไม่หารสัมประสิทธิ์กลางครึ่งหนึ่ง ก่อนยกกำลังสอง “ครึ่งหนึ่งของ b หารด้วย a แล้วยกกำลังสอง” คือวลีมาตรฐาน
• ปล่อยให้ a ≠ 1 ฝังอยู่: ดึงออกมาก่อนเสมอเพื่อให้ง่ายขึ้น

กรณีพิเศษ: a = 1

เมื่อ a = 1 กระบวนการจะง่ายขึ้น:

• x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
• h = −b/2, k = c − b²/4

k ที่เป็นลบหมายถึงมีรากจำนวนจริง

ถ้า k มีเครื่องหมายตรงข้ามกับ a พาราโบลาจะตัดแกน x แก้ a(x − h)² = −k เพื่อหารากเหล่านั้น