Softonic

เครื่องคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

ขั้นตอน 1 / 2 เมทริกซ์จัตุรัส
ผลลัพธ์

เมทริกซ์กำลังสอง A มีเมทริกซ์กลับ A⁻¹ โดยที่ A · A⁻¹ = I ให้ป้อนเมทริกซ์กำลังสองขนาดไม่เกิน 10×10 เครื่องคำนวณจะเพิ่มเมทริกซ์ดังกล่าวด้วยเมทริกซ์อัตลักษณ์ จากนั้นดำเนินการกำจัดแกนแบบเกาส์-จอร์แดนพร้อมการหมุนแกนบางส่วน และแสดงผลเมทริกซ์ A⁻¹ พร้อมกับขั้นตอนการประมวลผลแต่ละขั้นตอน หากเมทริกซ์มีลักษณะเฉพาะ (det = 0) เครื่องจะหยุดการทำงานและแจ้งตำแหน่งที่การลดรูปล้มเหลว

วิธีการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

  1. 1

    ป้อนเมทริกซ์สี่เหลี่ยม

    มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน โดยมีขนาดตั้งแต่ 2×2 ไปจนถึง 10×10

  2. 2

    เครื่องมือตรวจสอบความสามารถในการผกผัน

    จะคำนวณ det(A) ก่อนเป็นอันดับแรก หากผลลัพธ์เท่ากับศูนย์ แสดงว่าเมทริกซ์เป็นเอกฐานและไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

  3. 3

    เสริมด้วยอัตลักษณ์

    สร้างบล็อก [A | I] ให้พร้อมสำหรับการประมวลผลด้วยวิธีเกาส์-โยร์ดาน

  4. 4

    ลดรูปแบบแถวให้เหลือเป็น [I | A⁻¹]

    การดำเนินการในแต่ละแถวจะถูกบันทึกไว้ โดยบล็อกด้านขวาจะกลายเป็นค่ากลับกัน

  5. 5

    ตรวจสอบ

    เครื่องมือนี้จะคูณ A · A⁻¹ แล้วแสดงผลลัพธ์ ซึ่งควรจะเท่ากับอัตลักษณ์ในระดับความแม่นยำเชิงตัวเลข

เมื่อมีเมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์จัตุรัส A จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อ det(A) ≠ 0 เท่านั้น เงื่อนไขที่สมมูลกัน:

  • คอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน
  • แถวเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน
  • ปริภูมิศูนย์เป็นแบบชัดแจ้ง (มีเพียงเวกเตอร์ศูนย์)
  • A มีอันดับเต็ม (อันดับ = n)
  • ระบบเชิงเส้น Ax = b มีคำตอบเดียวสำหรับทุกค่าของ b

ทางลัดสำหรับ 2×2

สำหรับ A = [[a, b], [c, d]]:

A^−1 = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]

สลับสมาชิกในแนวทแยง กลับเครื่องหมายสมาชิกนอกแนวทแยง แล้วหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์

เกาส์-จอร์แดนในภาพเดียว

จุดเริ่มต้น: [A | I]

จุดสิ้นสุด: [I | A^−1]

การดำเนินการแถวที่เปลี่ยน A ให้เป็น I เมื่อนำไปใช้กับ I จะเปลี่ยน I ให้เป็น A⁻¹

เหตุใดการหมุนแกนบางส่วนจึงสำคัญ

หากไม่มีการหมุนแกนบางส่วน อัลกอริทึมจะเลือกสมาชิกในแนวทแยงของแถวปัจจุบันเป็นตัวหมุน หากค่านั้นเป็นศูนย์หรือเล็กมาก การหารจะล้มเหลว การหมุนแกนบางส่วนจะสลับไปใช้แถวที่มีค่าตัวหมุนสัมบูรณ์มากที่สุด ทำให้การคำนวณมีเสถียรภาพเชิงตัวเลข

การตรวจสอบผลลัพธ์ของคุณ

คูณ A · A⁻¹ คุณควรได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ (โดยมีความคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลขเพียงเล็กน้อย) หากสมาชิกในแนวทแยงเบี่ยงเบนจาก 1 อย่างชัดเจน หรือสมาชิกในตำแหน่งอื่นเบี่ยงเบนจาก 0 แสดงว่าเมทริกซ์นั้นเกือบเป็นเมทริกซ์เอกฐาน และเมทริกซ์ผกผันเชิงตัวเลขไม่น่าเชื่อถือ, ในทางทฤษฎีมีอยู่จริง แต่ผลลัพธ์ที่คำนวณได้อาจผิดพลาดหลายหลัก

ตัวอย่างการคำนวณ 2×2

A = [[4, 7], [2, 6]]

  • det(A) = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10 (ไม่เป็นศูนย์ จึงผกผันได้)
  • สลับและกลับเครื่องหมาย: [[6, −7], [−2, 4]]
  • หารด้วย 10: A^−1 = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]]
  • ตรวจสอบ: A · A^−1 = [[1, 0], [0, 1]]. ✓

คำแนะนำ

  • ใช้การคำนวณแบบแม่นยำ สำหรับเมทริกซ์ขนาดเล็ก (2×2, 3×3) เพื่อให้ได้เศษส่วนที่สะอาด ตัวเลขทศนิยม (float) ทำให้เกิดการปัดเศษแม้กับจำนวนเต็มที่เรียบง่าย
  • อย่าหาเมทริกซ์ผกผันเพื่อแก้ Ax = b ในโค้ดที่ใช้งานจริง ควรลดรูปตามแถวของระบบเสริม [A | b] แทน วิธีนี้เร็วกว่าและเสถียรกว่าการหาเมทริกซ์ผกผันแล้วนำมาคูณ
  • จำนวนเงื่อนไข หาก cond(A) มีค่ามาก (เช่น มากกว่า 10^10 ในความแม่นยำสองเท่า) เมทริกซ์ผกผันเชิงตัวเลขจะไม่น่าเชื่อถือแม้ว่าจะมีอยู่จริง

คำถามที่พบบ่อย

คำว่า “เอกฐาน” หมายถึงดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ซึ่งอาจเกิดขึ้นได้เมื่อคอลัมน์ต่าง ๆ ขึ้นต่อกันในเชิงเส้น กล่าวคือ คอลัมน์หนึ่งเป็นจำนวนเท่าของอีกคอลัมน์หนึ่ง หรือคอลัมน์หนึ่งเป็นผลรวมของอีกสองคอลัมน์ ส่วนค่าที่ไม่เป็นศูนย์ไม่ได้รับประกันว่าคอลัมน์เหล่านั้นจะเป็นอิสระจากกัน

ไม่ใช่ แมทริกซ์ที่ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมมี “เมทริกซ์กลับผิวเทียม” (Moore-Penrose) ซึ่งสามารถนิยามได้สำหรับแมทริกซ์ใดๆ แต่ไม่ใช่เมทริกซ์กลับจริง หากต้องการใช้งาน ควรใช้เครื่องมือเฉพาะสำหรับคำนวณเมทริกซ์กลับผิวเทียม

สำหรับข้อมูลที่เป็นจำนวนเต็มในขนาดที่เหมาะสม ผลลัพธ์จะยังคงอยู่ในรูปของจำนวนเชิงตรรกยะ ส่วนข้อมูลที่เป็นจำนวนทศนิยมหรือจำนวนที่ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนเชิงตรรกยะได้ เครื่องคำนวณจะเปลี่ยนไปใช้การคำนวณแบบความแม่นยำสองระดับ (double precision)

สามารถแสดงผลในขนาดใหญ่ได้ถึง 10×10 ได้อย่างสะดวกในเบราว์เซอร์ หากต้องการขนาดใหญ่กว่านั้น ให้ใช้ไลบรารีตัวเลขร่วมกับ BLAS

การปัดเศษในคณิตศาสตร์ความแม่นยำสองระดับ (double-precision arithmetic) อาจทำให้ค่าตัวแปรปรากฏเป็น 1.000000000000002 แทนที่จะเป็น 1 สำหรับเมทริกซ์ที่มีภาวะไม่เหมาะสม (ill-conditioned matrices) ค่าเบี่ยงเบนอาจสูงกว่านี้ หากคุณต้องการเมทริกซ์กลับแบบแม่นยำ ควรใช้โหมด exact-rational สำหรับเมทริกซ์ขนาดเล็ก

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

เครื่องคำนวณขนาดเครื่องลดความชื้น

ประเมินกำลังเครื่องลดความชื้นแบบเคลื่อนย้ายได้จากพื้นที่และระดับความชื้นตามคำแนะนำ ENERGY STAR ปัจจุบัน

เครื่องคำนวณเลขยกกำลัง

คำนวณฐานยกด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม ทศนิยม จำนวนลบ หรือเศษส่วน ความแม่นยำเต็มและสัญกรณ์วิทยาศาสตร์สำหรับผลลัพธ์ที่ใหญ่หรือเล็กมาก

เครื่องคำนวณความยาวสายพาน

คำนวณความยาวอ้างอิงแบบพิตช์ ดาตัม หรือประสิทธิผลของสายพานเปิดอย่างแม่นยำ จากเส้นผ่านศูนย์กลางอ้างอิงของพูลเลย์สองตัวและระยะศูนย์เพลา

เครื่องคำนวณขนาดตู้ปลา

คำนวณปริมาตรตู้ปลาเป็นแกลลอนสหรัฐและลิตรจากขนาดด้านในของตู้เป็นนิ้ว พร้อมน้ำหนักของน้ำเมื่อเติมเต็มเป็นปอนด์และกิโลกรัม

เครื่องคำนวณขนาดท่อลม

ประมาณขนาดท่อลมกลมหรือสี่เหลี่ยมจากอัตราการไหลและความเร็วเป้าหมาย หรือตรวจสอบความเร็วลมในท่อเดิมด้วยหน่วยเมตริก

เครื่องคำนวณความจุกระบอกสูบเครื่องยนต์

คำนวณความจุเครื่องยนต์จากความกว้างกระบอกสูบ ระยะชัก และจำนวนสูบ รับค่ารวมเป็น cc ลิตร และลูกบาศก์นิ้ว พร้อมปริมาตรต่อสูบได้ทันทีในเบราว์เซอร์

เครื่องมือนี้มีให้บริการในภาษาอื่น