เครื่องคำนวณการถดถอยเชิงเส้น

สำหรับข้อมูลจำนวน N จุด (x_i, y_i) ค่าความชันและจุดตัดแกน y ของเส้นการถดถอยแบบกำลังสองน้อยที่สุดทั่วไปมีค่าดังนี้:

m = Σ((x_i − x̄)(y_i − ȳ)) / Σ((x_i − x̄)²)
b = ȳ − m · x̄

R², สัมประสิทธิ์การกำหนด, คือสัดส่วนของความแปรปรวนในตัวแปร y ที่สามารถอธิบายได้โดยตัวแปร x

R² = 1 − SS_res / SS_tot

โดยที่ SS_res คือผลรวมของกำลังสองของค่าส่วนเหลือ และ SS_tot คือผลรวมของกำลังสองของความเบี่ยงเบนของ y จากค่าเฉลี่ย ส่วนค่า Pearson r เท่ากับ ±√R² โดยมีเครื่องหมายเหมือนกับค่าความชัน

ตัวอย่างที่ใช้งานจริง

จุดข้อมูลห้าจุด:

x = 3, y = 4.2 ส่วนตัวเลขในส่วนของความแปรปรวนร่วม = (1 – 3)(2 – 4.2) + (2 – 3)(4 – 4.2) + (3 – 3)(5 – 4.2) + (4 – 3)(4 – 4.2) + (5 – 3)(6 – 4.2) = 4.4 + 0.2 + 0 – 0.2 + 3.6 = 8.0 ส่วนตัวเลขในส่วนของความแปรปรวนของ x = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

• ค่าความชัน m = 8.0 / 10 = 0.8
• จุดตัดแกน y (b) = 4.2 – 0.8 × 3 = 1.8
• สมการ: y = 0.8x + 1.8
• R² ≈ 0.727

ตัวเลขบอกอะไรให้คุณรู้ (และไม่ได้บอกอะไรบ้าง)

• ค่าความชัน m หมายถึง “ค่าการเคลื่อนที่ของ y ต่อหนึ่งหน่วยของ x” โดยมีหน่วยวัดเท่ากับ y/x
• จุดตัดแกน y (b) ตอบคำถามว่า “ค่าของ y เท่าใดเมื่อ x เท่ากับ 0” โดยจะมีความหมายเฉพาะในกรณีที่ค่า x = 0 สอดคล้องกับข้อมูลของคุณเท่านั้น
• R² ใช้วัดคุณภาพของการเข้ากันได้ของโมเดล ไม่ใช่ความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล แม้ว่าค่า R² จะสูงในข้อมูลแทนที่ปราศจากสัญญาณรบกวน ก็อาจไม่มีความหมายอยู่ดี
• ค่า Pearson r ใช้บ่งชี้ความสัมพันธ์เชิงเส้น โดยเมื่อค่า r ใกล้ศูนย์และแสดงถึงความสัมพันธ์ที่โค้งอย่างชัดเจน ก็ยังหมายถึง “ไม่มีการเข้ากันตามแนวเส้นตรง” ไม่ใช่ “ไม่มีความสัมพันธ์เลย”

ข้อผิดพลาดที่ควรระวัง

• ข้อมูลที่ผิดปกติ (Outliers) ส่งผลกระทบอย่างรุนแรงต่อผลการประมาณค่าด้วยวิธี OLS เนื่องจากฟังก์ชันการสูญเสียใช้ค่ากำลังสองในการคำนวณ จึงเพียงข้อมูลเดียวที่ผิดปกติก็สามารถทำให้เส้นกราฟเลื่อนไปได้ถึง 20 องศา
• ค่า R² เพียงอย่างเดียวไม่สามารถระบุลักษณะของความไม่เป็นเชิงเส้นได้ ควรวาดกราฟของค่าส่วนเหลือเทียบกับตัวแปร x เสมอ
• การถดถอยไม่สมมาตร: การหาค่า y จากข้อมูล x จะให้เส้นตรงที่แตกต่างจากผลการหาค่า x จากข้อมูล y
• การคาดการณ์ล่วงหน้า (Extrapolation) นอกเหนือช่วงข้อมูลที่มีอยู่ถือเป็นเพียงการคาดเดาเท่านั้น เพราะผลการปรับแบบฟิต (fit) จะทราบเฉพาะช่วงข้อมูลที่มันได้รับเท่านั้น