เครื่องคำนวณผลคูณจุด

สูตรทั้งสอง

รูปแบบเชิงองค์ประกอบสำหรับเวกเตอร์ a = (a1, a2, ..., an) และ b = (b1, b2, ..., bn):

a . b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

รูปแบบทางเรขาคณิต:

a . b = |a| * |b| * cos(theta)

สองสมการนี้มีค่าเท่ากัน เมื่อกำหนดให้เท่ากันจะได้ cos(theta) = (a.b) / (|a| |b|) ซึ่งเป็นสูตรความคล้ายคลึงแบบโคไซน์

เครื่องหมายบอกอะไรกับคุณ

ตัวอย่างการคำนวณ

a = (3, 4), b = (1, 2):

• ผลคูณของแต่ละองค์ประกอบ: 3 × 1 + 4 × 2 = 3 + 8 = 11
• |a| = √(9 + 16) = 5
• |b| = √(1 + 4) = √5 ≈ 2.236
• cos(θ) = 11 / (5 × 2.236) = 0.9839
• θ = arccos(0.9839) ≈ 10.3 องศา

เวกเตอร์ทั้งสองชี้ไปในทิศทางเกือบเดียวกัน ผลคูณจุดจึงเป็นค่าบวกที่สูง

การประยุกต์ใช้ที่พบบ่อย

• ความคล้ายคลึงแบบโคไซน์ สำหรับระบบแนะนำ: เวกเตอร์ฝังตัว (embedding) สองตัวคล้ายกันเพียงใด?
• การฉายภาพ เวกเตอร์หนึ่งลงบนอีกเวกเตอร์หนึ่ง: proj_b(a) = (a . b) / |b|^2 * b
• งานในฟิสิกส์: W = F . d คือผลคูณจุดของแรงกับการกระจัด
• แสงในกราฟิก: ผลคูณจุดระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากของพื้นผิวกับทิศทางของแสง ให้ค่าความสว่างแบบกระจาย (กฎของแลมเบิร์ต)
• การตรวจสอบความตั้งฉาก: ตรวจสอบอย่างรวดเร็วว่าเวกเตอร์ฐานสองตัวตั้งฉากกันหรือไม่

คำแนะนำ

• ทำให้ค่าเป็นมาตรฐานก่อนการเปรียบเทียบ หากคุณสนใจเพียงทิศทาง (ความคล้ายคลึงกัน) ให้หารเวกเตอร์แต่ละตัวด้วยขนาดของมันก่อน จากนั้นผลคูณจุดจะเท่ากับค่าคอสไซน์โดยตรง
• โปรดตรวจสอบมิติ: การนำเวกเตอร์ขนาด 3 มาผสมกับเวกเตอร์ขนาด 4 จะทำให้ไม่สามารถกำหนดค่าได้ ควรเติมหรือตัดข้อมูลออกอย่างตั้งใจ ไม่ใช่โดยบังเอิญ
• ความเสถียรทางตัวเลข: สำหรับเวกเตอร์ขนาดใหญ่มาก การสะสมค่าแบบทศนิยม (floating-point) อาจทำให้ความแม่นยำลดลง ดังนั้นเมื่อมิติเกินหลายพัน ควรใช้ความแม่นยำแบบสองเท่า (double precision) หรือวิธีการรวมค่าแบบคาฮาน (Kahan summation)