เครื่องคิดเลขชุดค่าผสม

สูตร

C(n,k) = n! / (k! × (n - k)!)

เทียบเท่า: C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!

ตัวอย่างการทำงาน

• C(10, 3) = 120: วิธีเลือกท็อปปิ้ง 3 อย่างจาก 10 อย่าง
• C(52, 5) = 2,598,960: ไพ่โป๊กเกอร์ 5 ใบจากสำรับมาตรฐาน
• C(49, 6) = 13,983,816: จำนวนชุดค่าผสมของการออกรางวัลหลัก National Lottery แห่งสหราชอาณาจักร
• C(70, 5) × 25 = 302,575,350: จำนวนชุดค่าผสมแจ็กพอต Mega Millions (ลูกบอลหลัก 5 ลูกจาก 70 + ลูก Mega 1 ลูกจาก 25)
• C(100, 50) ≈ 1.01 × 10²⁹: เซตย่อยที่มีขนาดครึ่งหนึ่งของเซตที่มี 100 รายการ

ชุดค่าผสมกับการเรียงสับเปลี่ยน

• ชุดค่าผสม C(n, k): ลำดับไม่สำคัญ การเลือก {A, B, C} เหมือนกับ {C, B, A}
• การเรียงสับเปลี่ยน P(n, k): ลำดับมีความสำคัญ {A, B, C} แตกต่างจาก {C, B, A}
• ความสัมพันธ์: P(n, k) = C(n, k) × k!

การออกรางวัลลอตเตอรี่เป็นชุดค่าผสม (ลำดับของลูกบอลไม่สำคัญ) ส่วนตำแหน่งเข้าเส้นชัยเป็นการเรียงสับเปลี่ยน (อันดับที่หนึ่ง สอง และสามมีความสำคัญ)

สามเหลี่ยมของปาสคาล

C(n, k) ก่อรูปสามเหลี่ยมของปาสคาลเมื่อจัดเรียง:

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

แต่ละรายการ C(n, k) คือผลรวมของสองรายการที่อยู่ด้านบน: C(n-1, k-1) + C(n-1, k) สมมาตร: C(n, k) = C(n, n-k)

คุณสมบัติ

• C(n, 0) = C(n, n) = 1: มีเพียงวิธีเดียวเท่านั้นที่จะเลือกไม่มีอะไรหรือทุกอย่าง
• C(n, 1) = n: n วิธีเลือกหนึ่งรายการ
• ผลรวมของแถว n: Σ C(n, k) จาก k=0 ถึง n = 2ⁿ เซตย่อยทั้งหมดของเซต n รายการ
• ไม้ฮอกกี้: Σ C(i, k) จาก i=k ถึง n = C(n+1, k+1)

การใช้งานจริง

• อัตราต่อรองลอตเตอรี่: 1 / C(n, k) สำหรับชุดตัวเลขที่ออกพอดี
• การออกแบบการสุ่มตัวอย่าง: การเลือกกลุ่มการทดสอบจากประชากร
• พันธุศาสตร์: การนับจีโนไทป์ของลูกหลานที่เป็นไปได้
• กำหนดการ: การแข่งขันแบบพบกันหมดต้องใช้เกม C(ทีม, 2)
• การแจกแจงแบบทวินาม: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k)
• การคัดเลือกคณะกรรมการ: วิธีจัดตั้งคณะกรรมการ 5 คนจากสมาชิก 20 คน = C(20, 5) = 15,504

ตัวเลขขนาดใหญ่ก็ยังแม่นยำ

ผลลัพธ์โตเร็วมาก C(100, 50) มี 30 หลักแล้ว เครื่องคิดเลขจำกัด n ไว้ที่ 170 ซึ่งครอบคลุมการใช้งานจริงทุกแบบ เช่น ลอตเตอรี่ คณะกรรมการ และการสุ่มตัวอย่าง และคำตอบทุกข้อยังคงแม่นยำ เพราะการคำนวณใช้เลขคณิตจำนวนเต็มความแม่นยำตามอำเภอใจแทนจำนวนทศนิยมลอยตัว