เครื่องคำนวณเมทริกซ์

การดำเนินการและกฎมิติของแต่ละแบบ

ทำไมการคูณเมทริกซ์จึงไม่มีสมบัติการสลับที่

สำหรับเมทริกซ์ทั่วไป A และ B นั้น AB ≠ BA แม้เมื่อผลคูณทั้งสองถูกนิยาม แต่ละสมาชิกของ AB คือ dot product ของแถวหนึ่งของ A กับคอลัมน์หนึ่งของ B การสลับลำดับจะ dot แถวและคอลัมน์ที่ต่างกัน เมทริกซ์ที่สลับที่ได้เป็นข้อยกเว้น (พหุคูณของเอกลักษณ์ เมทริกซ์แนวทแยงที่มีสมาชิกต่างกัน การหมุนบางตัวที่ใช้แกนร่วมกัน)

การทดสอบความสามารถในการหาผกผันอย่างรวดเร็ว

• เมทริกซ์จัตุรัสหาผกผันได้ก็ต่อเมื่อ det(A) ≠ 0
• หาผกผันได้ ⇔ rank เต็ม ⇔ คอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น ⇔ null space ปริยาย
• สำหรับ 2×2: A^−1 = 1/det(A) · [[d, −b], [−c, a]]
• สำหรับเมทริกซ์ใหญ่กว่า การกำจัดแบบ Gauss-Jordan (เสริมด้วย I, row-reduce เป็น [I | A^−1]) คือสิ่งที่เครื่องคำนวณใช้

ข้อควรระวังที่พบบ่อย

• มิติไม่ตรงกัน ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด เครื่องคำนวณทำเครื่องหมายสิ่งเหล่านี้แต่เนิ่นๆ และบอกคุณว่ามิติใดที่ไม่ตรงกัน
• การปัดเศษในผกผัน การคำนวณแบบ double-precision สะสมความคลาดเคลื่อนเล็กน้อย เมทริกซ์ที่เกือบเอกฐาน (ดีเทอร์มิแนนต์ใกล้ศูนย์) ให้ผกผันที่ไม่แม่นยำอย่างมาก ตรวจสอบ condition number หากความแม่นยำสำคัญ
• เศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ป้อน 1/3 แล้วเครื่องคำนวณรักษาไว้แบบแม่นยำเมื่อเป็นไปได้ มัน fall back ไปยัง float เมื่อการดำเนินการนำจำนวนอตรรกยะเข้ามา

การใช้งานนอกเหนือจากการบ้าน

• คอมพิวเตอร์กราฟิก: เมทริกซ์การแปลง 4×4 สำหรับ translation, rotation, scaling ใน 3D
• ฟิสิกส์: เทนเซอร์ความเค้นและความเฉื่อย
• แมชชีนเลิร์นนิง: เมทริกซ์น้ำหนักในชั้น dense เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม PCA
• เครือข่ายและโมเดล Markov: เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะและกำลังของมัน
• เศรษฐศาสตร์: โมเดล input-output (Leontief)