Softonic

เครื่องคำนวณการประมาณเชิงเส้น

ขั้นตอน 1 / 3 การประมาณเชิงเส้น

ใช้ x เป็นตัวแปร และใช้ ^ สำหรับเลขยกกำลัง ใส่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันไว้ในวงเล็บ ผลคูณเขียนได้เป็น 2x, 3(x + 1) หรือ 2*x ฟังก์ชันและค่าคงที่ที่ใช้ได้: sqrt, cbrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, asin, acos, atan, abs, pi, e

ตัวอย่าง

ถัดไป: จุด a

เครื่องคำนวณการประมาณเชิงเส้นนี้หาการประมาณเชิงเส้น (linearization) ของฟังก์ชัน f ที่จุด a ซึ่งก็คือเส้นสัมผัส L(x) = f(a) + f’(a)(x - a) แล้วใช้เส้นนี้ประมาณค่า f(x) สำหรับ x ที่อยู่ใกล้ a พิมพ์ฟังก์ชัน จุด a และค่า x หากต้องการค่าประมาณ คุณจะได้ L(x) ที่แทนตัวเลขแล้วและในรูปความชันและจุดตัดแกน y ค่า f(a) และ f’(a) ค่าประมาณเชิงเส้นเทียบกับค่าจริง ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์และความคลาดเคลื่อนร้อยละ พร้อมวิธีทำทีละขั้นตอนแบบที่วิชาแคลคูลัสต้องการให้แสดง

วิธีหาการประมาณเชิงเส้น

  1. 1

    พิมพ์ฟังก์ชัน f(x)

    ใช้ x เป็นตัวแปร เช่น sqrt(x), x^3 - 2x, ln(x), sin(x), e^x หรือ 1/x เลขยกกำลังใช้ ^ และอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันต้องอยู่ในวงเล็บ

  2. 2

    ใส่จุด a

    เลือกจุดที่หาค่า f ได้ง่าย เช่น 4 สำหรับ sqrt(x) หรือ pi/6 สำหรับ sin(x) เครื่องคำนวณจะแสดงฟังก์ชันตามที่อ่านได้ก่อน คุณจึงเห็นจุดที่พิมพ์พลาด เช่น e^2x ที่ตั้งใจให้เป็น e^(2x) ก่อนถึงหน้าผลลัพธ์

  3. 3

    ใส่ค่า x ที่ต้องการประมาณ (ไม่บังคับ)

    เลือก x ที่อยู่ใกล้ a เช่น 4.1 ถ้าต้องการเฉพาะสมการ L(x) ให้เว้นว่างไว้

  4. 4

    อ่าน L(x) ค่าประมาณ และความคลาดเคลื่อน

    ผลลัพธ์แสดง L(x) ทั้งในรูปจุดและความชัน และรูปความชันและจุดตัดแกน y ค่า f(a) ค่า f'(a) ค่าประมาณ L(x) ค่าจริง f(x) ความคลาดเคลื่อนทั้งสองแบบ และวิธีทำครบทุกขั้นตอน

สูตรการประมาณเชิงเส้นและกรณีที่ใช้ได้ผล

การประมาณเชิงเส้น (linearization) ของฟังก์ชัน f ที่ a คือเส้นตรงที่ผ่านจุด (a, f(a)) และมีความชันเท่ากับความชันของเส้นโค้งที่จุดนั้น

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

เมื่ออยู่ใกล้ a เส้นโค้งกับเส้นสัมผัสแทบจะทับกัน จึงใช้ L(x) เป็นค่าประมาณอย่างรวดเร็วของ f(x) ได้ วิธีนี้คือการประมาณด้วยเส้นสัมผัส หรือที่เรียกว่าการประมาณเชิงเส้น การประมาณค่าเชิงเส้น หรือพหุนามเทย์เลอร์อันดับหนึ่ง

ตัวอย่างวิธีทำ: ประมาณค่า sqrt(4.1)

  1. เลือก f(x) = sqrt(x) และ a = 4 ซึ่งเป็นจุดใกล้ที่สุดที่หารากที่สองได้ง่าย
  2. หาค่าของฟังก์ชัน: f(4) = 2
  3. หาอนุพันธ์: f'(x) = 1/(2sqrt(x)) ดังนั้น f'(4) = 1/4 = 0.25
  4. สร้างสมการเส้นตรง: L(x) = 2 + 0.25(x - 4) ซึ่งในรูปความชันและจุดตัดแกน y คือ L(x) = 0.25x + 1
  5. ประมาณค่า: L(4.1) = 2 + 0.25(0.1) = 2.025
  6. เปรียบเทียบ: ค่าจริงคือ sqrt(4.1) = 2.024846 ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์จึงเท่ากับ 0.000154 และความคลาดเคลื่อนร้อยละประมาณ 0.0076%

การประมาณเชิงเส้นที่พบบ่อย

ฟังก์ชัน จุด a การประมาณเชิงเส้น L(x) ค่าประมาณ ค่าจริง ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์
sqrt(x) 4 2 + 0.25(x - 4) L(4.1) = 2.025 2.024846 0.000154
cbrt(x) 8 2 + (1/12)(x - 8) L(8.1) = 2.008333 2.008299 0.000034
ln(x) 1 x - 1 L(1.1) = 0.1 0.095310 0.004690
sin(x) 0 x L(0.1) = 0.1 0.099833 0.000167
e^x 0 1 + x L(0.1) = 1.1 1.105171 0.005171
1/x 2 0.5 - 0.25(x - 2) L(2.1) = 0.475 0.476190 0.001190

ความคลาดเคลื่อนมากแค่ไหน

ความคลาดเคลื่อนของการประมาณเชิงเส้นมีค่าประมาณ |f''(a)| / 2 × (x - a)^2 จึงสรุปได้สองข้อ

  • ระยะห่างมีผลแบบยกกำลังสอง สำหรับ sqrt(x) ที่ a = 4 ความคลาดเคลื่อนเท่ากับ 0.0000016 ที่ x = 4.01 เท่ากับ 0.000154 ที่ x = 4.1 เท่ากับ 0.0037 ที่ x = 4.5 และเท่ากับ 0.0139 ที่ x = 5 ห่างออกไปสิบเท่า ความคลาดเคลื่อนจะมากขึ้นราวร้อยเท่า
  • ความโค้งเป็นตัวกำหนดทิศทาง ช่วงที่กราฟเว้าลง (sqrt(x), ln(x)) เส้นสัมผัสจะอยู่เหนือเส้นโค้ง ค่าประมาณจึงสูงเกินไป ช่วงที่กราฟเว้าขึ้น (e^x และ 1/x เมื่อ x เป็นบวก) ค่าประมาณจะต่ำเกินไป เครื่องคำนวณจะบอกว่าคุณอยู่ในกรณีใด

วิธีพิมพ์ฟังก์ชัน

สิ่งที่ต้องการ พิมพ์ หมายเหตุ
เลขยกกำลัง x^3, x^(1/2), e^(2x) เลขชี้กำลังคือสิ่งที่ตามมาเพียงตัวเดียว e^2x จึงหมายถึง (e^2)x ถ้าต้องการ e^(2x) ให้ใส่วงเล็บ
ผลคูณ 2x, 3(x + 1), 2sin(x), x*ln(x) การเขียนตัวประกอบติดกันคือการคูณ
เครื่องหมายลบนำหน้า -x^2 อ่านเป็น -(x^2) ถ้าต้องการกำลังสองของ -x ให้พิมพ์ (-x)^2
ราก sqrt(x), cbrt(x) cbrt คือรากที่สามที่เป็นจำนวนจริง ใช้กับ x ที่เป็นลบได้ด้วย ส่วน x^(1/3) ไม่มีค่าเมื่อ x เป็นลบ ให้ใช้ cbrt(x) แทน และใช้ cbrt(x)^2 แทน x^(2/3)
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ 1e-3, 2E5, 1.5e+3 ตัวเลขที่ตามด้วย e และเลขชี้กำลังทันทีจะถูกอ่านเป็นกำลังของสิบ เช่น 1e-3 คือ 0.001 ถ้าต้องการ 2 คูณค่าคงที่ e ให้พิมพ์ 2*e หรือ 2e^x
ลอการิทึม ln(x), log(x) ln คือลอการิทึมธรรมชาติ ส่วน log คือลอการิทึมฐาน 10
ตรีโกณมิติ sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x), atan(x) ใช้หน่วยเรเดียน ถ้าต้องการ 30 องศาให้ใส่ pi/6
อื่น ๆ exp(x), abs(x), pi, e sin^2(x) อ่านเป็น (sin(x))^2

ทศนิยมให้ใช้จุด เช่น 4.1 หรือ 0.25 เครื่องคำนวณไม่รับจุลภาค ทั้งในฐานะจุดทศนิยมและตัวคั่นหลักพัน หนึ่งพันจึงพิมพ์เป็น 1000 ตัวเลขไทย เช่น ๔.๑ ก็อ่านได้เช่นกัน

จุดที่ไม่มีการประมาณเชิงเส้น

  • อยู่นอกโดเมน ln(x) ที่ a = 0, sqrt(x) ที่ a = -1 หรือ 1/x ที่ a = 0 ไม่มีค่า จึงไม่มีจุดให้เส้นสัมผัสแตะ
  • ไม่มีความชัน abs(x) มีจุดหักมุมที่ 0 ส่วน sqrt(x) และ cbrt(x) มีเส้นสัมผัสแนวดิ่งที่ 0 ฟังก์ชันมีค่าที่จุดนั้นแต่ไม่มีอนุพันธ์ที่เป็นค่าจำกัด จึงไม่มีการประมาณเชิงเส้น เครื่องคำนวณจะแจ้งให้ทราบและแสดงอนุพันธ์ที่พยายามหาค่า

คำถามที่พบบ่อย

เป็นสองชื่อของแนวคิดเดียวกัน linearization หมายถึงฟังก์ชัน L(x) = f(a) + f’(a)(x - a) ซึ่งเป็นสมการของเส้นสัมผัสที่ a ส่วนการประมาณเชิงเส้น (linear approximation) คือการนำสมการนี้ไปใช้ นั่นคือใช้ L(x) เป็นค่าประมาณของ f(x) เมื่อ x อยู่ใกล้ a เครื่องคำนวณนี้ให้ทั้งสองอย่าง ทั้งสมการเส้นตรงและค่าประมาณ

หาแบบสัญลักษณ์ด้วยกฎเดียวกับที่ใช้เมื่อทำด้วยมือ ได้แก่ กฎยกกำลัง กฎผลคูณ กฎผลหาร และกฎลูกโซ่ รวมถึงอนุพันธ์มาตรฐานของ sqrt, exp, ln, log ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน และ abs จากนั้นจึงแทนค่า a ลงในอนุพันธ์นั้น ค่า f’(a) จึงเป็นค่าแม่นตรงภายใต้การปัดเศษตามปกติของเลขทศนิยมในคอมพิวเตอร์ ไม่ใช่ค่าประมาณเชิงตัวเลข อนุพันธ์ที่หาได้จะแสดงในวิธีทำ โดยจัดรูปเพียงเล็กน้อยและไม่ได้ทำให้เป็นรูปอย่างง่ายที่สุด จึงอาจดูต่างจากคำตอบของคุณทั้งที่มีค่าเท่ากัน

ในที่นี้ log(x) คือลอการิทึมฐาน 10 และ ln(x) คือลอการิทึมธรรมชาติ ตามแบบที่ตำราแคลคูลัสส่วนใหญ่และเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ใช้ ซอฟต์แวร์บางตัวอ่าน log เป็นลอการิทึมธรรมชาติ จึงควรตรวจดูว่าโจทย์ของคุณหมายถึงแบบใด เมื่อฟังก์ชันของคุณมี log เครื่องคำนวณจะเตือนก่อนแสดงผลลัพธ์

เป็นเรเดียนเสมอ กฎการหาอนุพันธ์ในแคลคูลัส เช่น อนุพันธ์ของ sin(x) คือ cos(x) เป็นจริงเฉพาะเมื่อใช้เรเดียน ถ้าต้องการคำนวณที่ 30 องศาให้ใส่ a = pi/6 และที่ 45 องศาให้ใส่ pi/4 ทั้งจุด a และค่า x รับค่าคงที่ เช่น pi/6, e หรือ sqrt(2) ได้

ไม่มีระยะตายตัว ขึ้นอยู่กับว่าเส้นโค้งโค้งมากแค่ไหนบริเวณใกล้ a ความคลาดเคลื่อนเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของระยะห่างจาก a ดังนั้นถ้าลดระยะลงครึ่งหนึ่ง ความคลาดเคลื่อนจะเหลือราวหนึ่งในสี่ ลองใส่ค่า x แล้วดูความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์และความคลาดเคลื่อนร้อยละ ถ้าความคลาดเคลื่อนมากเกินไปสำหรับงานของคุณ ให้เลือกจุด a ที่อยู่ใกล้ x มากขึ้น

อาจเป็นเพราะฟังก์ชันไม่มีค่าที่จำกัดที่ a เช่น ln(x) ที่ 0 หรือ 1/x ที่ 0 หรือมีค่าแต่ไม่มีความชันที่เป็นค่าจำกัด เช่น abs(x) ที่ 0 (จุดหักมุม) หรือ sqrt(x) ที่ 0 (เส้นสัมผัสแนวดิ่ง) ในบางกรณีที่พบได้น้อย เช่น x*abs(x) ที่ 0 อนุพันธ์มีอยู่จริงแต่กฎให้ผลเป็น 0/0 ที่จุดนั้น เครื่องคำนวณจะแจ้งว่าหาความชันไม่ได้และจะไม่เดาค่า การเลือกจุดอื่นที่อยู่ใกล้กันแก้ได้ทุกกรณี

ค่าต่าง ๆ คำนวณด้วยความแม่นยำแบบ double precision หรือประมาณ 15 เลขนัยสำคัญ และแสดง 7 เลขนัยสำคัญ เครื่องหมายเท่ากับหมายความว่าตัวเลขแสดงครบทุกหลัก ส่วนเครื่องหมายประมาณเท่ากับหมายความว่ามีการปัดเศษ เมื่อ x อยู่ใกล้ a มากจนค่าประมาณและค่าจริงตรงกันเกือบครบทั้ง 15 หลัก ความคลาดเคลื่อนจะแสดงเฉพาะหลักที่มีความหมาย

ไม่ ฟังก์ชันและตัวเลขที่คุณพิมพ์จะถูกส่งไปยังเซิร์ฟเวอร์ของเราเพื่อคำนวณผลลัพธ์ และถูกเพิ่มลงในลิงก์ของหน้าเมื่อคุณเปลี่ยนขั้นตอน คุณจึงบันทึกบุ๊กมาร์กหรือแชร์การคำนวณได้ ข้อมูลเหล่านี้ไม่ถูกบันทึกลงในบัญชีหรือโปรไฟล์ใด

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

ตัวแปลง kW เป็นแอมป์

แปลงกิโลวัตต์เป็นแอมป์สำหรับวงจร DC เฟสเดียว และสามเฟส รวมแรงดันจ่ายและตัวประกอบกำลังเพื่อการกำหนดขนาดทางไฟฟ้าที่แม่นยำ

เครื่องคำนวณ ANOVA

ทำ one-way ANOVA กับสองกลุ่มขึ้นไปเพื่อทดสอบว่าค่าเฉลี่ยต่างกันอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ พร้อมรายงาน F-statistic องศาอิสระ ค่าเฉลี่ยกำลังสอง และผลรวมกำลังสอง

เครื่องคำนวณการทดสอบ T (T-Test Calculator)

นำตัวอย่างสองชุดมาวางซ้อนกัน แล้วดำเนินการทดสอบ t-test แบบรวมสองตัวอย่าง แบบเวลช์ (Welch) หรือแบบคู่ (paired t-test) โดยจะให้ค่าเฉลี่ย ค่าความแปรปรวน ค่าสถิติ t องศาอิสระ และค่า p-value แบบสองขั้ว

เครื่องคำนวณระยะเวลา

คำนวณระยะเวลาระหว่างสองเวลาเป็น HH:MM ชั่วโมงทศนิยม นาที และวินาที

เครื่องคำนวณเลขยกกำลัง

คำนวณฐานยกด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม ทศนิยม จำนวนลบ หรือเศษส่วน ความแม่นยำเต็มและสัญกรณ์วิทยาศาสตร์สำหรับผลลัพธ์ที่ใหญ่หรือเล็กมาก

เครื่องคำนวณบวกและลบเวลา

บวกหรือลบช่วงเวลาสองช่วงในรูปแบบ H:MM:SS แล้วรับผลลัพธ์ทั้งแบบช่วงเวลาและแบบชั่วโมงทศนิยมที่เทียบเท่ากัน

เครื่องมือนี้มีให้บริการในภาษาอื่น