Softonic

เครื่องคำนวณลิมิต

ขั้นตอน 1 / 3 ลิมิตของฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน
ถัดไป

ลิมิตของฟังก์ชัน f(x) เมื่อ x เข้าใกล้จุด a คือค่าที่ f(x) เข้าใกล้ ไม่ว่า f(a) จะมีค่าหรือไม่ก็ตาม เครื่องคำนวณนี้ครอบคลุมฟังก์ชันคลาสสิก 13 ฟังก์ชันจากวิชาแคลคูลัสเบื้องต้น ตั้งแต่ sin(x)/x และ (1 − cos x)/x² ไปจนถึง (1 + 1/x)ˣ, 1/x และ sin(1/x) เลือกฟังก์ชัน ป้อนจำนวนจริง พหุคูณของ π หรือ ±∞ แล้วคุณจะได้ลิมิตที่แน่นอน (1/2, e, +∞ หรือ “ไม่มีลิมิต”) ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา และตารางค่าใกล้เคียงไว้ตรวจคำตอบ

วิธีคำนวณลิมิต

  1. 1

    เลือกฟังก์ชัน

    เลือกหนึ่งใน 13 ฟังก์ชันคลาสสิก เช่น sin(x)/x, (eˣ − 1)/x, (1 + 1/x)ˣ, ln(x)/x หรือ |x|/x

  2. 2

    ป้อนจุดลิมิต a

    จำนวนจริง พหุคูณของ π เช่น π/2 หรือ ∞ / -∞ สำหรับลิมิตที่อนันต์

  3. 3

    เลือกทิศทาง

    สองด้าน ( ทั้งสอง ) ซ้าย ( a⁻ ) หรือขวา ( a⁺ )

  4. 4

    อ่านผลลัพธ์

    คุณจะได้ลิมิตที่แน่นอน +∞ −∞ หรือ "ไม่มีลิมิต" พร้อมลิมิตซ้าย ลิมิตขวา และค่าของ f(x) ใกล้ a

เมื่อลิมิตเป็นไปตามปกติและเมื่อไม่เป็น

โจทย์แคลคูลัสปีหนึ่งส่วนใหญ่ใช้สามเทคนิค ได้แก่ การแทนค่าโดยตรง การจัดรูปทางพีชคณิต และกฎของโลปีตาล เครื่องคำนวณนี้ไม่ได้แปลงนิพจน์ที่พิมพ์เข้ามา แต่ทำงานกับชุดฟังก์ชันคลาสสิกที่กำหนดไว้ ซึ่งทราบพฤติกรรมใกล้ทุกจุดอยู่แล้ว จึงให้ค่าที่แน่นอน เช่น 1/2 และ e แทนค่าประมาณที่ปัดเศษ

ผลลัพธ์คลาสสิกที่ควรจำ

ลิมิต ค่า
lim x→0 sin(x)/x 1
lim x→0 (1 − cos x)/x 0
lim x→0 (1 − cos x)/x² 1/2
lim x→0 (eˣ − 1)/x 1
lim x→∞ (1 + 1/x)ˣ e
lim x→0⁺ x ln(x) 0
lim x→∞ ln(x)/x 0
lim x→∞ (พหุนาม)/eˣ 0

เมื่อลิมิตสองด้านล้มเหลว

มีสามรูปแบบที่ทำให้เกิด “ไม่มีอยู่”:

  • ความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด f(x) = sign(x) ที่ x = 0: ซ้าย → -1, ขวา → +1
  • เส้นกำกับแนวตั้งที่มีเครื่องหมายตรงข้าม f(x) = 1/x ที่ x = 0: ซ้าย → -∞, ขวา → +∞
  • การแกว่ง f(x) = sin(1/x) ที่ x = 0: ค่าแกว่งระหว่าง -1 และ 1 ใกล้จุดนั้นอย่างไม่จำกัด

ลิมิตด้านเดียวอาจมีอยู่ในที่ที่ลิมิตสองด้านไม่มี เครื่องคำนวณรายงานแต่ละด้านแยกกัน เพื่อให้คุณเห็นการลู่แยก

กฎของโลปิตาล ( L’Hôpital ): ใช้อย่างระมัดระวัง

เมื่อการแทนค่าให้ผล 0/0 หรือ ∞/∞ การหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกันมักแก้ปัญหาได้ แต่กฎนี้กำหนดให้:

  • ลิมิตทั้งสอง ( ของตัวเศษและตัวส่วน ) ต้องเป็น 0 จริง หรือเป็น ∞ ทั้งคู่
  • อัตราส่วนอนุพันธ์ต้องมีลิมิตด้วยตัวเอง
  • ฟังก์ชันต้องหาอนุพันธ์ได้ใกล้จุดนั้น

การใช้กฎของโลปิตาลกับรูปแบบที่ไม่ใช่รูปไม่กำหนดจะให้คำตอบที่ผิด ยืนยันรูปแบบก่อนเสมอ

เชิงตัวเลขเทียบกับเชิงสัญลักษณ์

ทุกผลลัพธ์มาจากสมบัติที่ทราบของฟังก์ชันที่เลือก: ที่จุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง ลิมิตคือ f(a) ซึ่งปัดเป็นเลขนัยสำคัญไม่เกิน 10 หลัก (น้อยกว่านั้นในกรณีที่ความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษของ x ทำให้หลักที่เหลือเชื่อถือไม่ได้) ส่วนที่จุดพิเศษ (ความไม่ต่อเนื่องที่ขจัดได้ เส้นกำกับ การกระโดด การแกว่ง และขอบของโดเมน) จะใช้ผลลัพธ์ที่แน่นอน ตารางค่าตัวอย่างใต้ผลลัพธ์มีไว้ตรวจสอบเท่านั้น ตัวเลขที่คำนวณใกล้จุดหนึ่งบอกใบ้ถึงลิมิตได้ แต่พิสูจน์ไม่ได้

คำถามที่พบบ่อย

ค่าที่ f(x) เข้าใกล้เมื่อ x มาจากด้านเดียวของ a เท่านั้น ด้านซ้าย ( x → a⁻ ) ใช้ค่าที่ต่ำกว่า a ด้านขวา ( x → a⁺ ) ใช้ค่าที่สูงกว่า ลิมิตสองด้านมีอยู่ก็ต่อเมื่อทั้งสองตรงกัน

ได้ ป้อน ∞ หรือ -∞ เป็นจุด (พิมพ์ inf ก็ได้) ตัวอย่างเช่น เมื่อ x → ∞ ฟังก์ชัน (1 + 1/x)ˣ เข้าใกล้ e และ ln(x)/x เข้าใกล้ 0

ฟังก์ชันไม่เข้าหาค่าจำกัดค่าเดียวเมื่อ x เข้าใกล้จุดนั้น สิ่งนี้เกิดขึ้นได้เพราะค่ามีแนวโน้มเข้าหาอนันต์ เพราะด้านซ้ายและด้านขวาไม่ตรงกัน หรือเพราะค่าแกว่งโดยไม่ลู่เข้า

ไม่ต้องป้อนข้อมูลส่วนตัวใด ๆ ฟังก์ชันที่เลือก จุด และทิศทางจะถูกเพิ่มลงในลิงก์ของหน้าเพื่อให้ขั้นตอนถัดไปแสดงผลลัพธ์ได้ และลิมิตคำนวณบนเซิร์ฟเวอร์ของเรา

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

เครื่องคำนวณการทดสอบ T (T-Test Calculator)

นำตัวอย่างสองชุดมาวางซ้อนกัน แล้วดำเนินการทดสอบ t-test แบบรวมสองตัวอย่าง แบบเวลช์ (Welch) หรือแบบคู่ (paired t-test) โดยจะให้ค่าเฉลี่ย ค่าความแปรปรวน ค่าสถิติ t องศาอิสระ และค่า p-value แบบสองขั้ว

เครื่องคำนวณอัตราส่วนกำลังอัด

คำนวณอัตราส่วนกำลังอัดสถิตของเครื่องยนต์จากขนาดกระบอกสูบ ช่วงชัก ปริมาตรห้องเผาไหม้เป็นซีซี ประเก็นฝาสูบ ระยะลูกสูบจากหน้าเสื้อสูบ และโดมหรือหลุมบนหัวลูกสูบ เป็นนิ้วหรือมิลลิเมตร

เครื่องคำนวณบวกและลบเวลา

บวกหรือลบช่วงเวลาสองช่วงในรูปแบบ H:MM:SS แล้วรับผลลัพธ์ทั้งแบบช่วงเวลาและแบบชั่วโมงทศนิยมที่เทียบเท่ากัน

เครื่องคำนวณ ANOVA

ทำ one-way ANOVA กับสองกลุ่มขึ้นไปเพื่อทดสอบว่าค่าเฉลี่ยต่างกันอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ พร้อมรายงาน F-statistic องศาอิสระ ค่าเฉลี่ยกำลังสอง และผลรวมกำลังสอง

ตัวแปลง kW เป็นแอมป์

แปลงกิโลวัตต์เป็นแอมป์สำหรับวงจร DC เฟสเดียว และสามเฟส รวมแรงดันจ่ายและตัวประกอบกำลังเพื่อการกำหนดขนาดทางไฟฟ้าที่แม่นยำ

เครื่องคำนวณเลขยกกำลัง

คำนวณฐานยกด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม ทศนิยม จำนวนลบ หรือเศษส่วน ความแม่นยำเต็มและสัญกรณ์วิทยาศาสตร์สำหรับผลลัพธ์ที่ใหญ่หรือเล็กมาก

เครื่องมือนี้มีให้บริการในภาษาอื่น