เครื่องคำนวณการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริก

ความหมายของการคำนวณ

ให้ N เป็นขนาดประชากร K เป็นจำนวนรายการที่นับเป็นผลสำเร็จในประชากร n เป็นจำนวนที่หยิบ และ X เป็นจำนวนผลสำเร็จในกลุ่มตัวอย่าง การสุ่มเป็นแบบ ไม่ใส่กลับ: หยิบแล้วจะไม่หยิบรายการเดิมซ้ำ

สำหรับผลลัพธ์ที่เท่ากับ k:

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

C(a, b) คือจำนวนวิธีเลือก b รายการจาก a รายการ จำนวนผลสำเร็จที่เป็นไปได้มีตั้งแต่ max(0, n - (N - K)) ถึง min(n, K) เท่านั้น หากเป้าหมายอยู่นอกช่วงนี้ ความน่าจะเป็นที่จะได้เท่ากับเป้าหมายเป็นศูนย์ แม้เป้าหมายจะอยู่ระหว่างศูนย์กับขนาดกลุ่มตัวอย่างก็ตาม ไม่เกิน k คือผลรวมของความน่าจะเป็นรายจำนวนจนถึง k ส่วน อย่างน้อย k คือผลรวมตั้งแต่ k ขึ้นไป ดังนั้นเหตุการณ์สะสมที่อยู่ต่ำกว่าหรือสูงกว่าช่วงที่เป็นไปได้อาจมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์หรือหนึ่ง

ตัวอย่าง: หยิบ 5 รายการจาก 20 รายการ

สมมติว่าในกล่องมีสิ่งของ 20 รายการ โดยมีเครื่องหมายกำกับ 7 รายการ หยิบ 5 รายการโดยไม่ใส่กลับ แล้วหาความน่าจะเป็นที่จะได้รายการที่มีเครื่องหมายเท่ากับ 2 รายการ ป้อน N = 20, K = 7, n = 5, k = 2 และเลือก เท่ากับ k

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15,504 = 6,006 / 15,504 ≈ 0.387384.

คิดเป็นประมาณ 38.74% หากเปลี่ยนเป็น ไม่เกิน k จะได้ P(X ≤ 2) ≈ 0.793215 หรือเลือก อย่างน้อย k จะได้ P(X ≥ 2) ≈ 0.594169 เหตุการณ์สะสมทั้งสองแบบรวมกรณีที่ได้เท่ากับ 2 รายการด้วย

ค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และความต่างจากการแจกแจงทวินาม

ค่าคาดหมายของจำนวนผลสำเร็จคือ n × K / N เมื่อ N > 1 ความแปรปรวนคือ n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1) และเมื่อ N = 1 ความแปรปรวนเป็นศูนย์ ตัวประกอบสุดท้ายสะท้อนว่าองค์ประกอบของประชากรที่เหลือเปลี่ยนไปหลังการหยิบ

เอกสาร R เกี่ยวกับการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริก อธิบายฟังก์ชันความน่าจะเป็นรายค่าและฟังก์ชันการแจกแจงสะสมที่เกี่ยวข้อง

ใช้แบบจำลอง ทวินาม เมื่อการทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระและมีโอกาสสำเร็จเท่ากัน เช่น ใส่รายการกลับก่อนหยิบครั้งถัดไป ใช้แบบจำลองไฮเปอร์จีโอเมตริกเมื่อหยิบจำนวนครั้งที่กำหนดจากประชากรจำกัด โดยไม่ใส่กลับ เครื่องคำนวณรับจำนวนเต็มและคำนวณการแจกแจงในเบราว์เซอร์ ขั้นตอนแบบแนะนำจะเก็บข้อมูลไว้ชั่วคราวในแท็บนี้ หากใช้แท็บอื่นหรือข้อมูลหมดอายุ อาจต้องเริ่มใหม่

สำหรับความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์แต่เล็กมาก หน้าจออาจแสดง น้อยกว่า 10^-300 เพราะตัวเลขทศนิยมทั่วไปแสดงค่าเต็มไม่ได้ ไฟล์ CSV จึงมีลอการิทึมฐาน 10 ของความน่าจะเป็นสำหรับทุกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เพื่อให้ดูระดับขนาดของค่าได้