เครื่องคำนวณลำดับเรขาคณิต

สูตร

ในลำดับเรขาคณิต แต่ละพจน์เท่ากับพจน์ก่อนหน้าคูณด้วยอัตราส่วนร่วม r โดยเริ่มจากพจน์แรก a₁:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

ผลรวมของ n พจน์แรก (ผลรวมย่อย) คือ:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) สำหรับ r ≠ 1

เมื่ออัตราส่วนร่วมเท่ากับ 1 พอดี ทุกพจน์จะเท่ากันหมด ผลรวมจึงเป็นเพียง Sₙ = n · a₁ หากอัตราส่วนร่วมอยู่ระหว่าง −1 กับ 1 อย่างเคร่งครัด ผลรวมอนันต์จะลู่เข้าสู่ a₁ / (1 − r)

ตัวอย่างที่แก้แล้ว

ให้ a₁ = 2 และ r = 3 แล้วขอ n = 5 พจน์

• ลำดับ: 2, 6, 18, 54, 162
• พจน์ที่ 5: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
• ผลรวม: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

แต่ละพจน์เป็น 3 เท่าของพจน์ก่อนหน้าพอดี และห้าพจน์รวมกันได้ 242

พจน์และผลรวมย่อยแบบเห็นภาพรวม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• คลาดเคลื่อนหนึ่งหน่วยที่เลขชี้กำลัง พจน์ที่ n ใช้ r^(n−1) ไม่ใช่ rⁿ เพราะพจน์แรกยังไม่ได้ถูกคูณด้วยอัตราส่วนร่วม
• อัตราส่วนร่วมเท่ากับ 1 หากแทน r = 1 ลงในสูตรผลรวมหลัก จะเป็นการหารด้วยศูนย์ ให้ใช้ Sₙ = n · a₁ แทน เครื่องมือนี้จะสลับให้โดยอัตโนมัติ
• เรขาคณิตหรือเลขคณิต ลำดับเรขาคณิตคูณด้วยอัตราส่วนร่วมคงที่ ส่วนลำดับเลขคณิตบวกด้วยผลต่างร่วมคงที่ การสับสนสองอย่างนี้จะได้พจน์ที่ผิดไปอย่างมาก
• อัตราส่วนร่วมที่เป็นลบ อัตราส่วนร่วมอย่าง −2 จะทำให้เครื่องหมายของพจน์สลับกัน (2, −4, 8, −16, …) ซึ่งใช้ได้และเครื่องคำนวณรองรับ

ลำดับเรขาคณิตปรากฏที่ไหนบ้าง

ลำดับเรขาคณิตใช้จำลองทุกสิ่งที่เติบโตหรือลดลงด้วยเปอร์เซ็นต์คงที่ในแต่ละขั้น ดอกเบี้ยทบต้นคูณยอดเงินด้วยตัวประกอบเดียวกันทุกงวด ยอดเงินจึงเป็นลำดับเรขาคณิต การเติบโตของประชากร การสลายตัวของสารกัมมันตรังสีที่วัดเป็นครึ่งชีวิต ความสูงของการกระดอนของลูกบอลที่ปล่อยลงมา และการเสื่อมราคาของสินทรัพย์ในแต่ละปี ล้วนเป็นไปตามรูปแบบเดียวกัน การมองออกว่าอัตราส่วนร่วมในข้อมูลจริงคืออะไร ช่วยให้คุณคาดการณ์ค่าถัดไป ประมาณผลรวมสะสม หรือประเมินว่าสูตรผลรวมอนันต์แบบลู่เข้าจะใช้ได้หรือไม่เมื่ออัตราส่วนร่วมอยู่ระหว่าง −1 กับ 1