Softonic

เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ

ขั้นตอน 1 / 3 เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ
ขนาดเมทริกซ์
สมาชิกของเมทริกซ์

ใช้จำนวนเต็ม ทศนิยมเช่น 0.25 หรือเศษส่วนเช่น -3/4 กรอกให้ครบทุกช่อง

ถัดไป: รูปแบบของพหุนาม

พหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์จัตุรัส A คือ det(A - λI) ซึ่งเป็นพหุนามของ λ และรากของมันคือค่าเฉพาะ (eigenvalue) ของ A กรอกเมทริกซ์ขนาด 2 × 2, 3 × 3 หรือ 4 × 4 แล้วเครื่องคำนวณนี้จะแสดงพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์แม่นยำ พร้อมเทรซและดีเทอร์มิแนนต์ และสำหรับเมทริกซ์ 2 × 2 กับ 3 × 3 จะแสดงค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนจริงด้วย

วิธีหาพหุนามลักษณะเฉพาะ

  1. 1

    เลือกขนาดและกรอกตาราง

    เลือก 2 × 2, 3 × 3 หรือ 4 × 4 แล้วพิมพ์สมาชิกแต่ละตัวเป็นจำนวนเต็ม ทศนิยมเช่น 0.25 หรือเศษส่วนเช่น -3/4

  2. 2

    เลือกรูปแบบ

    เลือก det(A - λI) ซึ่งเป็นรูปแบบที่พบบ่อยในตำรา หรือ det(λI - A) ซึ่งเป็นรูปแบบโมนิกที่สัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 เสมอ สำหรับขนาดที่เป็นเลขคู่อย่าง 2 × 2 หรือ 4 × 4 ทั้งสองรูปแบบให้พหุนามเดียวกัน

  3. 3

    อ่านพหุนาม

    ผลลัพธ์จะแสดงพหุนาม ตารางสัมประสิทธิ์ รวมถึงเทรซและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่คุณกรอก

  4. 4

    ตรวจสอบค่าเฉพาะ

    สำหรับเมทริกซ์ 2 × 2 และ 3 × 3 จะแสดงรากที่เป็นจำนวนจริงพร้อมความซ้ำของราก ส่วนเมทริกซ์ 4 × 4 จะได้เฉพาะพหุนามที่แม่นยำเท่านั้น

พหุนามลักษณะเฉพาะบอกอะไรเราได้บ้าง

สำหรับเมทริกซ์ A ขนาด n × n พหุนาม det(λI - A) มีรูปแบบดังนี้

λⁿ - (trace A)·λⁿ⁻¹ + ... + (-1)ⁿ·det A

ดังนั้นสัมประสิทธิ์สองตัวอ่านได้ง่าย ตัวที่สองคือค่าลบของเทรซ (ผลรวมของสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลัก) และพจน์ค่าคงที่คือดีเทอร์มิแนนต์ ต่างกันที่เครื่องหมาย (-1)ⁿ รากของพหุนามคือค่าเฉพาะของ A ผลรวมของรากเท่ากับเทรซ และผลคูณของรากเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ ตามทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตัน เมทริกซ์ A เองก็สอดคล้องกับพหุนามของมันด้วย เมื่อแทนเมทริกซ์ A ลงในตำแหน่งของ λ จะได้เมทริกซ์ศูนย์

วิธีคำนวณสัมประสิทธิ์

เครื่องคำนวณนี้ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดของฟาดดีฟ-เลอแวร์ริเยร์ เริ่มจากเมทริกซ์เอกลักษณ์ แล้วสร้างลำดับเมทริกซ์ M₁, M₂, ... โดย Mₖ = A·Mₖ₋₁ + cₙ₋ₖ₊₁·I และหาสัมประสิทธิ์แต่ละตัวจาก cₙ₋ₖ = -trace(A·Mₖ) / k สมาชิกทุกตัวจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนที่แม่นยำก่อน สัมประสิทธิ์จึงออกมาเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนที่แม่นยำ ไม่ใช่ทศนิยมที่ปัดเศษแล้ว

ตัวอย่างแสดงวิธีทำ (3 × 3)

สำหรับ A = [[2, 0, 0], [0, 3, 4], [0, 4, 9]] เทรซคือ 2 + 3 + 9 = 14 และดีเทอร์มิแนนต์คือ 2·(3·9 - 4·4) = 22 พหุนามคือ

λ³ - 14λ² + 35λ - 22

แยกตัวประกอบได้เป็น (λ - 1)(λ - 2)(λ - 11) ค่าเฉพาะจึงเป็น 1, 2 และ 11 ส่วนในรูปแบบ det(A - λI) ขนาดที่เป็นเลขคี่จะทำให้เครื่องหมายของทุกพจน์กลับด้าน เป็น -λ³ + 14λ² - 35λ + 22

ตัวอย่าง (2 × 2)

เมทริกซ์ A พหุนามลักษณะเฉพาะ ค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนจริง
[[2, 1], [1, 2]] λ² - 4λ + 3 1 และ 3
[[1, 2], [3, 4]] λ² - 5λ - 2 5.372281 และ -0.372281
[[2, 1], [0, 2]] λ² - 4λ + 4 2 (ซ้ำ 2 ครั้ง)
[[0, -1], [1, 0]] λ² + 1 ไม่มี (คู่สังยุคเชิงซ้อน)

สิ่งที่เครื่องคำนวณนี้ไม่ทำ

  • รองรับเฉพาะขนาด 2 × 2, 3 × 3 และ 4 × 4
  • สมาชิกมีได้สูงสุดเก้าหลัก และทศนิยมได้ไม่เกินหกตำแหน่ง ไม่รองรับสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
  • ค่าเฉพาะแสดงเป็นทศนิยมปัดเศษหกตำแหน่ง เฉพาะเมทริกซ์ 2 × 2 และ 3 × 3 และเฉพาะค่าที่เป็นจำนวนจริงเท่านั้น ค่าเฉพาะเชิงซ้อนและเวกเตอร์เฉพาะจะไม่แสดง

คำถามที่พบบ่อย

สำหรับเมทริกซ์ n × n ทั้งสองต่างกันด้วยตัวคูณ (-1)ⁿ สำหรับเมทริกซ์ 2 × 2 และ 4 × 4 ทั้งสองเหมือนกันทุกประการ ส่วนเมทริกซ์ 3 × 3 เครื่องหมายจะตรงข้ามกัน แต่ราก หรือก็คือค่าเฉพาะ ยังเท่าเดิม ตำราหลายเล่มใช้ det(A - λI) ขณะที่ซอฟต์แวร์และบางรายวิชาใช้รูปแบบโมนิก det(λI - A)

เพราะการคำนวณนี้แม่นยำ หากเมทริกซ์ของคุณมีเศษส่วนหรือทศนิยม สัมประสิทธิ์มักเป็นเศษส่วน และการแสดง 5/6 ตรงกับค่าจริงมากกว่า 0.8333 ส่วนเมทริกซ์ที่มีแต่จำนวนเต็มจะได้สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเสมอ

หน้านี้ให้พหุนามลักษณะเฉพาะที่แม่นยำของเมทริกซ์ 4 × 4 แต่ไม่ได้แก้สมการดีกรี 4 ให้ คุณต้องแยกตัวประกอบพหุนามด้วยมือหรือใช้เครื่องมือหารากเพื่อให้ได้ค่าเฉพาะ ส่วนเมทริกซ์ 2 × 2 หรือ 3 × 3 จะแสดงค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนจริงให้เลย

จะแสดงเพียงครั้งเดียวพร้อมความซ้ำ เช่น λ = 2 (ซ้ำ 2 ครั้ง) สำหรับเมทริกซ์ [[2, 1], [0, 2]] ซึ่งมีพหุนามเป็น (λ - 2)²

ไม่เปลี่ยน เมทริกซ์ที่คล้ายกัน เช่น A กับ P⁻¹AP มีพหุนามลักษณะเฉพาะเดียวกัน จึงใช้เป็นเหมือนลายนิ้วมือของการแปลงเชิงเส้นได้ดี แต่เมทริกซ์สองตัวที่มีพหุนามเดียวกันไม่จำเป็นต้องคล้ายกันเสมอไป

ไม่ สมาชิกที่คุณพิมพ์จะถูกส่งไปยังเซิร์ฟเวอร์ของเราเพื่อคำนวณผลลัพธ์ และจะถูกเพิ่มลงในลิงก์ของหน้าเมื่อคุณเปลี่ยนขั้นตอน เพื่อให้บุ๊กมาร์กหรือแชร์การคำนวณได้ โดยจะไม่ถูกบันทึกลงในบัญชีหรือโปรไฟล์ใด ๆ

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

เครื่องคำนวณการทดสอบ T (T-Test Calculator)

นำตัวอย่างสองชุดมาวางซ้อนกัน แล้วดำเนินการทดสอบ t-test แบบรวมสองตัวอย่าง แบบเวลช์ (Welch) หรือแบบคู่ (paired t-test) โดยจะให้ค่าเฉลี่ย ค่าความแปรปรวน ค่าสถิติ t องศาอิสระ และค่า p-value แบบสองขั้ว

เครื่องคำนวณอัตราส่วนกำลังอัด

คำนวณอัตราส่วนกำลังอัดสถิตของเครื่องยนต์จากขนาดกระบอกสูบ ช่วงชัก ปริมาตรห้องเผาไหม้เป็นซีซี ประเก็นฝาสูบ ระยะลูกสูบจากหน้าเสื้อสูบ และโดมหรือหลุมบนหัวลูกสูบ เป็นนิ้วหรือมิลลิเมตร

เครื่องคำนวณบวกและลบเวลา

บวกหรือลบช่วงเวลาสองช่วงในรูปแบบ H:MM:SS แล้วรับผลลัพธ์ทั้งแบบช่วงเวลาและแบบชั่วโมงทศนิยมที่เทียบเท่ากัน

ตัวแปลง kW เป็นแอมป์

แปลงกิโลวัตต์เป็นแอมป์สำหรับวงจร DC เฟสเดียว และสามเฟส รวมแรงดันจ่ายและตัวประกอบกำลังเพื่อการกำหนดขนาดทางไฟฟ้าที่แม่นยำ

เครื่องคำนวณเลขยกกำลัง

คำนวณฐานยกด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม ทศนิยม จำนวนลบ หรือเศษส่วน ความแม่นยำเต็มและสัญกรณ์วิทยาศาสตร์สำหรับผลลัพธ์ที่ใหญ่หรือเล็กมาก

เครื่องคำนวณ ANOVA

ทำ one-way ANOVA กับสองกลุ่มขึ้นไปเพื่อทดสอบว่าค่าเฉลี่ยต่างกันอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ พร้อมรายงาน F-statistic องศาอิสระ ค่าเฉลี่ยกำลังสอง และผลรวมกำลังสอง

เครื่องมือนี้มีให้บริการในภาษาอื่น