เครื่องคำนวณการถดถอยกำลังสอง

การถดถอยกำลังสองคำนวณอะไร

แบบจำลองกำลังสองอยู่ในรูป ŷ = a*x^2 + b*x + c โดย ŷ คือค่า y ที่ได้จากสมการ สัมประสิทธิ์ a กำหนดความโค้ง b คือสัมประสิทธิ์พจน์เชิงเส้น และ c คือค่าจากสมการเมื่อ x เท่ากับศูนย์ ความชันที่ค่า x ใด ๆ เท่ากับ 2*a*x + b ดังนั้น b เพียงค่าเดียวจึงไม่ใช่ความชันคงที่ หาก a เท่ากับศูนย์ แบบจำลองจะเป็นเส้นตรง

เครื่องคำนวณหาสัมประสิทธิ์ด้วยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด โดยทำให้ผลรวมกำลังสองของผลต่างในแนวตั้งระหว่างค่า y ที่สังเกตได้กับค่าจากสมการน้อยที่สุด แม้เส้นโค้งกำลังสองจะไม่เป็นเส้นตรง แต่สมการยังเป็นเชิงเส้นเมื่อพิจารณาสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่าทั้งสาม NIST อธิบายวิธีกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้นสำหรับแบบจำลองพหุนาม เมื่อค่า x อยู่ห่างจากศูนย์มาก ผลลัพธ์อาจแสดงสมการที่ปรับจุดศูนย์กลางและมาตราส่วนเพื่อให้คำนวณได้แม่นยำขึ้น ในกรณีนั้น ค่า a, b และ c ที่แสดงในมาตราส่วน x เดิมจะเป็นค่าโดยประมาณ ส่วนการทำนายและค่าส่วนเหลือคำนวณจากสมการรูปที่เสถียรกว่า

สำหรับแต่ละบรรทัด ค่าส่วนเหลือ = ค่า y ที่สังเกตได้ - ค่า y จากสมการ รากของค่าเฉลี่ยกำลังสองของความคลาดเคลื่อนคำนวณจาก RMSE = sqrt(sum(residual^2)/n) โดย n คือจำนวนบรรทัด RMSE มีหน่วยเดียวกับ y ส่วนสัมประสิทธิ์การกำหนดคำนวณจาก R² = 1 - sum(residual^2)/sum((y - mean(y))^2) หากค่า y ที่สังเกตได้ทุกค่าเท่ากัน ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ ทำให้ R² ไม่มีนิยาม RMSE ในที่นี้หารด้วย n ซึ่งต่างจากค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานของส่วนเหลือที่หารด้วยองศาอิสระของส่วนเหลือ

ตัวอย่างการคำนวณ

ป้อนสามคู่ (0, 1), (1, 4) และ (2, 9) จะได้เส้นโค้ง ŷ = x^2 + 2*x + 1 เมื่อ x = 0 สมการให้ c = 1 ส่วนอีกสองคู่ให้ a + b + 1 = 4 และ 4*a + 2*b + 1 = 9 จึงได้ a = 1 และ b = 2 ค่าส่วนเหลือทั้งสามเป็นศูนย์ RMSE เป็นศูนย์ และ R² เท่ากับหนึ่ง จุดที่มีค่า x ต่างกันสามจุดสามารถกำหนดเส้นโค้งกำลังสองได้พอดี แต่ไม่ได้พิสูจน์ว่าเส้นโค้งจะทำนายข้อมูลใหม่ได้ดี

เมื่อ x = 1.5 สมการนี้ทำนายค่า y เท่ากับ 6.25 และเมื่อ x = 3 จะทำนายได้ 16 แต่ x = 3 อยู่นอกช่วง x ที่ป้อน จึงเป็นการประมาณค่านอกช่วง เส้นโค้งกำลังสองอาจเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างรวดเร็วเมื่อออกนอกช่วงที่วัด

ตัวอย่างต่อไปนี้มีความคลาดเคลื่อนที่เห็นได้ชัด โดยใช้ข้อมูลห้าค่า:

ค่าส่วนเหลือเหล่านี้เป็นไปตามสมการหาสัมประสิทธิ์ด้วยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด ผลรวมกำลังสองของค่าส่วนเหลือคือ 0.70 ดังนั้น RMSE = sqrt(0.70/5) หรือประมาณ 0.3742 ผลรวมกำลังสองของความแปรปรวนรอบค่าเฉลี่ย y = 3 เท่ากับ 14.70 จึงได้ R² = 1 - 0.70/14.70 หรือประมาณ 0.9524

เตรียมและตีความข้อมูล

ป้อนหนึ่งคู่ต่อบรรทัดที่ไม่ว่าง หน้าภาษาไทยใช้จุดเป็นเครื่องหมายทศนิยม เช่น 1.5, 2.25 จึงคั่น x กับ y ด้วยจุลภาค อัฒภาค แท็บ หรือช่องว่างได้ สำหรับหน้าภาษาอื่นที่ใช้จุลภาคเป็นเครื่องหมายทศนิยม ให้คั่นด้วยอัฒภาค แท็บ หรือช่องว่าง เช่น 1,5; 2,25 อย่าใช้เครื่องหมายคั่นหลักพัน บรรทัดแรกที่เป็นชื่อคอลัมน์จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อระบุชื่อของทั้งสองคอลัมน์ชัดเจน บรรทัดที่ไม่ว่างอื่นทุกบรรทัดต้องมีตัวเลขที่ถูกต้องสองค่า บรรทัดที่ผิดรูปแบบจะถูกปฏิเสธ ไม่ถูกข้ามไปโดยไม่แจ้ง

การสร้างเส้นโค้งกำลังสองที่ให้คำตอบเดียวต้องมีค่า x แตกต่างกันอย่างน้อยสามค่า ค่า x และ y ทุกค่าที่ป้อน รวมถึงค่า x สำหรับการทำนายเพิ่มเติม ต้องมีค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 10^12 สามารถวัดซ้ำที่ค่า x เดิมได้ โดยแต่ละบรรทัดนับเป็นหนึ่งข้อมูลแยกกัน ควรดูเส้นโค้งและค่าส่วนเหลือร่วมกับ R² และ RMSE ค่า R² ที่สูงไม่ได้พิสูจน์ความเป็นเหตุเป็นผลหรือรับประกันว่าทำนายได้ดี และไม่มีเกณฑ์สากลที่ตัดสินว่าความสอดคล้องดีเพียงใด NIST อธิบายการวิเคราะห์ค่าส่วนเหลือเพื่อประเมินแบบจำลอง

เครื่องคำนวณสร้างเส้นโค้งจากคู่ข้อมูลในแท็บเบราว์เซอร์นี้ ข้อมูลที่ใช้สร้างเส้นโค้งจะอยู่ในพื้นที่จัดเก็บของเซสชันระหว่างที่คุณเปลี่ยนไปมาระหว่างสามขั้นตอน และจะถูกลบเมื่อเลือกเริ่มใหม่ ลิงก์หน้าเว็บไม่มีคู่ข้อมูลอยู่ด้วย การทำนายเพิ่มเติมเป็นค่าประมาณแบบจุดจากสมการที่ได้ และไม่มีช่วงความไม่แน่นอน