เครื่องคำนวณโมดูโล (Modulo)

สองกฎสำหรับจำนวนลบ

สำหรับตัวตั้งที่เป็นบวก ทุกกฎให้ผลตรงกัน คือ 17 mod 5 = 2 แต่สำหรับจำนวนลบ แต่ละภาษาจะแตกต่างกัน

การหารแบบปัดลง: ผลหารถูกปัดไปทาง −∞ เศษเหลือจะมีเครื่องหมายเดียวกับตัวหารเสมอ คือเครื่องหมายเดียวกับ b การหารแบบตัดทอน: ผลหารถูกปัดไปทางศูนย์ เศษเหลือจะมีเครื่องหมายเดียวกับตัวตั้ง คือเครื่องหมายเดียวกับ a

สำหรับ a = -17, b = 5:

• ตัดทอน: q = -3 (ปัดไปทาง 0), r = -17 − (-3)·5 = -2
• ปัดลง: q = -4 (ปัดไปทาง -∞), r = -17 − (-4)·5 = 3

ทั้งสองแบบถูกต้องตามกฎของแต่ละแบบ เลือกให้ตรงกับภาษาที่คุณใช้

โมดูโลปรากฏที่ไหนบ้าง

• เวลา นาทีในหนึ่งชั่วโมง วันในสัปดาห์ วินาทีในหนึ่งวัน ทั้งหมดล้วนเป็นเลขคณิตแบบโมดูโล
• ตารางแฮช hash(key) mod table_size เลือกบักเก็ต
• การจัดคิวแบบวนรอบ (round-robin) task_i mod worker_count มอบหมายงาน
• การเข้ารหัส RSA และ Diffie-Hellman สร้างขึ้นบน mod n โดยใช้จำนวนเฉพาะขนาดใหญ่มาก
• ทุกๆ แถวที่ N ใน SQL: WHERE id % 3 = 0
• การตรวจเลขคู่/เลขคี่ n mod 2 == 0 หมายถึงเลขคู่
• ลวดลายสลับ การทำแถบสีตามแถว การลงสีสลับทีละองค์ประกอบ
• บัฟเฟอร์วงกลม (index + 1) mod size วนกลับมาที่จุดเริ่มต้น

เอกลักษณ์ที่มีประโยชน์

• (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
• (a · b) mod n = ((a mod n) · (b mod n)) mod n
• (a^k) mod n สามารถคำนวณได้ด้วยการยกกำลังแบบมอดุลาร์อย่างรวดเร็วในเวลา O(log k) ซึ่งสำคัญมากต่อการเข้ารหัสจำนวนขนาดใหญ่
• a mod 1 = 0 สำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ
• a mod a = 0

โมดูโลของจำนวนทศนิยม

สำหรับจำนวนจริง นิยามตามธรรมชาติคือ a mod b = a − b · floor(a/b) โดย 7.5 mod 2.5 = 0 เพราะ 7.5 เป็นพหุคูณที่ลงตัวพอดี และ 7.6 mod 2.5 = 0.1

ตัวดำเนินการ % ของ JavaScript ทำงานกับจำนวนจริง ส่วน fmod ของ Python ให้โมดูโลจำนวนจริงแบบตัดทอน และ % ของ Python ให้โมดูโลจำนวนจริงแบบปัดลง

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว

• 100 mod 7: 100 = 14·7 + 2 ดังนั้นเศษเหลือคือ 2
• 25 mod 4: 25 = 6·4 + 1 ดังนั้นเศษเหลือคือ 1
• -10 mod 3 (แบบปัดลง): -10 = -4·3 + 2 เศษเหลือคือ 2 (แบบตัดทอนจะได้ -1)
• 17.5 mod 5: 17.5 = 3·5 + 2.5 เศษเหลือคือ 2.5