Softonic

เครื่องคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ

ขั้นตอน 1 / 4 เมทริกซ์ A
แถวแรก
ถัดไป

ใช้เครื่องคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) นี้เพื่อแก้เมทริกซ์จำนวนจริงขนาด 2×2 จากสมาชิกทั้งสี่ตัว เครื่องมือจะคำนวณผลรวมแนวทแยง ดีเทอร์มิแนนต์ พหุนามลักษณะเฉพาะ ตัวจำแนก และค่าลักษณะเฉพาะ จากนั้นจะแสดงเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจริงเมื่อค่าลักษณะเฉพาะทั้งสองเป็นจำนวนจริงและต่างกัน เหมาะกับการบ้านพีชคณิตเชิงเส้น การตรวจสอบอย่างรวดเร็วในแบบจำลองทางวิศวกรรม และการตรวจทานก่อนทำเมทริกซ์ขนาดเล็กให้อยู่ในรูปทแยงมุมด้วยมือ

วิธีหาค่าลักษณะเฉพาะ

  1. 1

    กรอกสมาชิกของเมทริกซ์

    ใส่ค่า a, b, c และ d สำหรับเมทริกซ์ A = [[a, b], [c, d]] รองรับทั้งทศนิยมและค่าติดลบ

  2. 2

    ตั้งสมการลักษณะเฉพาะ

    เครื่องคำนวณใช้ผลรวมแนวทแยง T = a + d และดีเทอร์มิแนนต์ D = ad - bc เพื่อสร้างสมการ λ² - Tλ + D = 0

  3. 3

    จำแนกชนิดของราก

    ตัวจำแนก T² - 4D บอกว่าค่าลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนจริงสองค่า เป็นรากซ้ำหนึ่งค่า หรือเป็นคู่สังยุคเชิงซ้อน

สูตรสำหรับเมทริกซ์ 2×2

สำหรับ A = [[a, b], [c, d]] ค่าลักษณะเฉพาะคือรากของสมการ

det(A - λI) = 0

เมื่อกระจายดีเทอร์มิแนนต์นี้ออกมา จะได้

λ² - Tλ + D = 0

โดยที่

  • T = a + d คือผลรวมแนวทแยง
  • D = ad - bc คือดีเทอร์มิแนนต์
  • Δ = T² - 4D คือตัวจำแนก

ดังนั้น

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

ตัวอย่างการคำนวณ

สำหรับ A = [[2, 1], [1, 2]] ผลรวมแนวทแยงคือ T = 2 + 2 = 4 และดีเทอร์มิแนนต์คือ D = 2·2 - 1·1 = 3 พหุนามลักษณะเฉพาะจึงเป็น

λ² - 4λ + 3 = 0

ตัวจำแนกคือ Δ = 4² - 4·3 = 4 ค่าลักษณะเฉพาะจึงเป็น

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

สำหรับค่าลักษณะเฉพาะ 3 เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะหนึ่งตัวคือ [1, 1] ส่วนค่าลักษณะเฉพาะ 1 เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะหนึ่งตัวคือ [1, -1] ผลคูณสเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเวกเตอร์เหล่านี้ก็ถือเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวจำแนกบอกอะไรบ้าง

ตัวจำแนก Δ กรณีของค่าลักษณะเฉพาะ สิ่งที่ควรคาดหวัง
Δ > 0 ค่าลักษณะเฉพาะจริงสองค่า รากจริงสองค่าที่ต่างกัน และสำหรับเมทริกซ์ 2×2 จะได้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอิสระสองตัวเมื่อเมทริกซ์ทำเป็นรูปทแยงมุมได้บนจำนวนจริง
Δ = 0 ค่าลักษณะเฉพาะซ้ำ มีรากซ้ำหนึ่งค่า ปริภูมิลักษณะเฉพาะอาจมีมิติเดียวหรือสองมิติ จึงควรตรวจเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแยกต่างหากหากต้องทำรูปทแยงมุม
Δ < 0 คู่สังยุคเชิงซ้อน ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นจำนวนจริง รากทั้งสองมีส่วนจริงเท่ากันและส่วนจินตภาพตรงข้ามกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • เขียน A - λI ผิด มีเพียงสมาชิกบนแนวทแยงเท่านั้นที่เปลี่ยน คือ a - λ และ d - λ
  • ลืมเครื่องหมายในดีเทอร์มิแนนต์ สำหรับเมทริกซ์ 2×2 ต้องเป็น D = ad - bc ไม่ใช่ ad + bc
  • คิดว่าค่าลักษณะเฉพาะซ้ำต้องทำเป็นรูปทแยงมุมได้เสมอ รากซ้ำยังต้องมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอิสระมากพออยู่ดี
  • ปัดเศษเร็วเกินไป พยายามเก็บผลรวมแนวทแยง ดีเทอร์มิแนนต์ และตัวจำแนกไว้เป็นค่าที่แม่นยำให้นานที่สุด โดยเฉพาะเมื่อมีทศนิยม

คำถามที่พบบ่อย

เครื่องมือนี้เน้นเมทริกซ์จำนวนจริงขนาด 2×2 ผลลัพธ์จึงตรวจสอบย้อนกลับได้ง่าย เพราะทุกค่ามาจากผลรวมแนวทแยง ดีเทอร์มิแนนต์ และพหุนามลักษณะเฉพาะกำลังสอง

ได้ หากตัวจำแนก T² - 4D มีค่าติดลบ ค่าลักษณะเฉพาะจะเป็นคู่สังยุคเชิงซ้อน เมทริกซ์การหมุนอย่าง [[0, -1], [1, 0]] คือตัวอย่างมาตรฐาน

เครื่องคำนวณจะแสดงเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเมื่อค่าลักษณะเฉพาะจริงต่างกัน เพราะกรณีนั้นสามารถระบุเวกเตอร์จริงอย่างง่ายให้แต่ละรากได้ ส่วนกรณีรากซ้ำและรากเชิงซ้อนต้องอธิบายเพิ่ม เครื่องมือจึงแสดงเฉพาะค่าลักษณะเฉพาะและการจำแนกชนิด

ไม่มีการอัปโหลดไฟล์ใด ๆ สมาชิกที่กรอกจะถูกประมวลผลโดยคอมโพเนนต์ของหน้าเว็บเพื่อคำนวณผลรวมแนวทแยง ดีเทอร์มิแนนต์ พหุนาม และค่าลักษณะเฉพาะ

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

เครื่องคำนวณการทดสอบ T (T-Test Calculator)

นำตัวอย่างสองชุดมาวางซ้อนกัน แล้วดำเนินการทดสอบ t-test แบบรวมสองตัวอย่าง แบบเวลช์ (Welch) หรือแบบคู่ (paired t-test) โดยจะให้ค่าเฉลี่ย ค่าความแปรปรวน ค่าสถิติ t องศาอิสระ และค่า p-value แบบสองขั้ว

เครื่องคำนวณ ANOVA

ทำ one-way ANOVA กับสองกลุ่มขึ้นไปเพื่อทดสอบว่าค่าเฉลี่ยต่างกันอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ พร้อมรายงาน F-statistic องศาอิสระ ค่าเฉลี่ยกำลังสอง และผลรวมกำลังสอง

เครื่องคำนวณบวกและลบเวลา

บวกหรือลบช่วงเวลาสองช่วงในรูปแบบ H:MM:SS แล้วรับผลลัพธ์ทั้งแบบช่วงเวลาและแบบชั่วโมงทศนิยมที่เทียบเท่ากัน

เครื่องคำนวณอัตราส่วนกำลังอัด

คำนวณอัตราส่วนกำลังอัดของเครื่องยนต์จากขนาดกระบอกสูบ ช่วงชัก และปริมาตรห้องเผาไหม้ รับผลลัพธ์เป็น X.X:1 พร้อมปริมาตรกวาดต่อสูบ ได้ทันทีในเบราว์เซอร์

เครื่องคำนวณกระสอบทราย

ประมาณจำนวนกระสอบ ปริมาณสำรอง น้ำหนักทราย และพื้นที่แนวกั้นชั่วคราวด้วยระดับการวางแผน USACE 2022 ตั้งแต่ 1 ถึง 5 ฟุต

เครื่องคำนวณอัตราส่วนรอบเอวต่อส่วนสูง

คำนวณอัตราส่วนรอบเอวต่อส่วนสูง (WHtR) เป็นเซนติเมตรหรือนิ้ว และดูช่วงความเสี่ยงต่อสุขภาพได้ทันที ฟรี เป็นส่วนตัว และไม่ต้องเข้าสู่ระบบ

เครื่องมือนี้มีให้บริการในภาษาอื่น