เครื่องคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ
ใช้เครื่องคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) นี้เพื่อแก้เมทริกซ์จำนวนจริงขนาด 2×2 จากสมาชิกทั้งสี่ตัว เครื่องมือจะคำนวณผลรวมแนวทแยง ดีเทอร์มิแนนต์ พหุนามลักษณะเฉพาะ ตัวจำแนก และค่าลักษณะเฉพาะ จากนั้นจะแสดงเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจริงเมื่อค่าลักษณะเฉพาะทั้งสองเป็นจำนวนจริงและต่างกัน เหมาะกับการบ้านพีชคณิตเชิงเส้น การตรวจสอบอย่างรวดเร็วในแบบจำลองทางวิศวกรรม และการตรวจทานก่อนทำเมทริกซ์ขนาดเล็กให้อยู่ในรูปทแยงมุมด้วยมือ
วิธีหาค่าลักษณะเฉพาะ
-
1
กรอกสมาชิกของเมทริกซ์
ใส่ค่า a, b, c และ d สำหรับเมทริกซ์ A = [[a, b], [c, d]] รองรับทั้งทศนิยมและค่าติดลบ
-
2
ตั้งสมการลักษณะเฉพาะ
เครื่องคำนวณใช้ผลรวมแนวทแยง T = a + d และดีเทอร์มิแนนต์ D = ad - bc เพื่อสร้างสมการ λ² - Tλ + D = 0
-
3
จำแนกชนิดของราก
ตัวจำแนก T² - 4D บอกว่าค่าลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนจริงสองค่า เป็นรากซ้ำหนึ่งค่า หรือเป็นคู่สังยุคเชิงซ้อน
สูตรสำหรับเมทริกซ์ 2×2
สำหรับ A = [[a, b], [c, d]] ค่าลักษณะเฉพาะคือรากของสมการ
det(A - λI) = 0
เมื่อกระจายดีเทอร์มิแนนต์นี้ออกมา จะได้
λ² - Tλ + D = 0
โดยที่
T = a + dคือผลรวมแนวทแยงD = ad - bcคือดีเทอร์มิแนนต์Δ = T² - 4Dคือตัวจำแนก
ดังนั้น
λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2
ตัวอย่างการคำนวณ
สำหรับ A = [[2, 1], [1, 2]] ผลรวมแนวทแยงคือ T = 2 + 2 = 4 และดีเทอร์มิแนนต์คือ D = 2·2 - 1·1 = 3 พหุนามลักษณะเฉพาะจึงเป็น
λ² - 4λ + 3 = 0
ตัวจำแนกคือ Δ = 4² - 4·3 = 4 ค่าลักษณะเฉพาะจึงเป็น
λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3
λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1
สำหรับค่าลักษณะเฉพาะ 3 เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะหนึ่งตัวคือ [1, 1] ส่วนค่าลักษณะเฉพาะ 1 เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะหนึ่งตัวคือ [1, -1] ผลคูณสเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเวกเตอร์เหล่านี้ก็ถือเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ถูกต้องเช่นกัน
ตัวจำแนกบอกอะไรบ้าง
| ตัวจำแนก Δ | กรณีของค่าลักษณะเฉพาะ | สิ่งที่ควรคาดหวัง |
|---|---|---|
| Δ > 0 | ค่าลักษณะเฉพาะจริงสองค่า | รากจริงสองค่าที่ต่างกัน และสำหรับเมทริกซ์ 2×2 จะได้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอิสระสองตัวเมื่อเมทริกซ์ทำเป็นรูปทแยงมุมได้บนจำนวนจริง |
| Δ = 0 | ค่าลักษณะเฉพาะซ้ำ | มีรากซ้ำหนึ่งค่า ปริภูมิลักษณะเฉพาะอาจมีมิติเดียวหรือสองมิติ จึงควรตรวจเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแยกต่างหากหากต้องทำรูปทแยงมุม |
| Δ < 0 | คู่สังยุคเชิงซ้อน | ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นจำนวนจริง รากทั้งสองมีส่วนจริงเท่ากันและส่วนจินตภาพตรงข้ามกัน |
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
- เขียน
A - λIผิด มีเพียงสมาชิกบนแนวทแยงเท่านั้นที่เปลี่ยน คือa - λและd - λ - ลืมเครื่องหมายในดีเทอร์มิแนนต์ สำหรับเมทริกซ์ 2×2 ต้องเป็น
D = ad - bcไม่ใช่ad + bc - คิดว่าค่าลักษณะเฉพาะซ้ำต้องทำเป็นรูปทแยงมุมได้เสมอ รากซ้ำยังต้องมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอิสระมากพออยู่ดี
- ปัดเศษเร็วเกินไป พยายามเก็บผลรวมแนวทแยง ดีเทอร์มิแนนต์ และตัวจำแนกไว้เป็นค่าที่แม่นยำให้นานที่สุด โดยเฉพาะเมื่อมีทศนิยม
คำถามที่พบบ่อย
เครื่องมือนี้เน้นเมทริกซ์จำนวนจริงขนาด 2×2 ผลลัพธ์จึงตรวจสอบย้อนกลับได้ง่าย เพราะทุกค่ามาจากผลรวมแนวทแยง ดีเทอร์มิแนนต์ และพหุนามลักษณะเฉพาะกำลังสอง
ได้ หากตัวจำแนก T² - 4D มีค่าติดลบ ค่าลักษณะเฉพาะจะเป็นคู่สังยุคเชิงซ้อน เมทริกซ์การหมุนอย่าง [[0, -1], [1, 0]] คือตัวอย่างมาตรฐาน
เครื่องคำนวณจะแสดงเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเมื่อค่าลักษณะเฉพาะจริงต่างกัน เพราะกรณีนั้นสามารถระบุเวกเตอร์จริงอย่างง่ายให้แต่ละรากได้ ส่วนกรณีรากซ้ำและรากเชิงซ้อนต้องอธิบายเพิ่ม เครื่องมือจึงแสดงเฉพาะค่าลักษณะเฉพาะและการจำแนกชนิด
ไม่มีการอัปโหลดไฟล์ใด ๆ สมาชิกที่กรอกจะถูกประมวลผลโดยคอมโพเนนต์ของหน้าเว็บเพื่อคำนวณผลรวมแนวทแยง ดีเทอร์มิแนนต์ พหุนาม และค่าลักษณะเฉพาะ
เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง
เครื่องคำนวณเงินค่าขนม
คำนวณเงินค่าขนมเด็กที่เหมาะกับอายุด้วยกฎ "จำนวนคงที่ต่อปีอายุ" และรูปแบบผูกกับงานบ้าน พร้อมยอดรวมรายปีสำหรับวางงบ
เครื่องคำนวณสินเชื่อเรือ
ประเมินค่างวดรายเดือน ดอกเบี้ยรวม และวันปิดบัญชีสำหรับสินเชื่อเรือ รองรับอัตราดอกเบี้ยคงที่และระยะเวลาผ่อนตั้งแต่ 5 ถึง 20 ปี
เครื่องคำนวณสินเชื่อธุรกิจ
คำนวณค่างวดต่อเดือน ดอกเบี้ยรวม และอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปีสำหรับสินเชื่อเงินกู้ สินเชื่อจาก SME D Bank และวงเงินกู้เบิกเกินบัญชี รองรับค่าธรรมเนียมและการชำระก้อนสุดท้าย
เครื่องคำนวณลูกกรงราวกันตก
กรอกช่วงเปิดของราว ความกว้างของลูกกรง และระยะห่างสูงสุดที่กฎหมายอนุญาต เพื่อหาจำนวนลูกกรงที่ต้องใช้อย่างแม่นยำ พร้อมระยะห่างที่เท่ากันระหว่างแต่ละซี่ โดยไม่มีช่องใดเกินขีดจำกัดตามข้อกำหนด
เครื่องคำนวณการลงทุน
ประมาณมูลค่าเงินลงทุนในอนาคตจากเงินตั้งต้น เงินลงทุนรายเดือน ผลตอบแทนต่อปี และระยะเวลา พร้อมข้อควรคิดเรื่องเงินเฟ้อและค่าธรรมเนียม
เครื่องคำนวณ ABV
กรอกค่าความถ่วงจำเพาะเริ่มต้น (OG) และสุดท้าย (FG) เพื่อคำนวณ ABV, ABW, attenuation และแคลอรีต่อ 355 ml