เครื่องคำนวณสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

สูตร

r = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / √(Σ(xᵢ - x̄)² × Σ(yᵢ - ȳ)²)

หรืออีกนัยหนึ่งคือ r = cov(X, Y) / (σ_X × σ_Y) ซึ่งเป็นค่าความแปรปรวนร่วมที่ถูกปรับมาตรฐานด้วยผลคูณของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ทำให้ผลลัพธ์อยู่ในช่วง [-1, +1]

การตีความค่า r

r² (สัมประสิทธิ์การกำหนด) คือ สัดส่วนของความแปรปรวนในตัวแปร Y ที่สามารถอธิบายได้โดยแบบจำลองเชิงเส้นจากตัวแปร X โดยเมื่อร = 0.7 จะหมายความว่า r² = 0.49 ซึ่งแสดงว่าประมาณครึ่งหนึ่งของความแปรปรวนสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองเชิงเส้น อีกครึ่งหนึ่งไม่สามารถอธิบายได้

เมื่อใช้เพียร์สันเป็นเครื่องมือที่ไม่เหมาะสม

เพียร์สันสมมติฐานว่าข้อมูลมีความสัมพันธ์แบบเชิงเส้น และมีลักษณะใกล้เคียงกับการแจกแจงปกติ โดยไม่มีค่าที่ผิดปกติอย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม สมมติฐานนี้ให้ผลลัพธ์ที่ไม่แม่นยำอย่างมากในกรณีต่อไปนี้:

• ความสัมพันธ์แบบโค้ง: ในช่วง [-5, 5] สมการ y = x² มีค่า r = 0 แม้ว่าผลลัพธ์จะสามารถคาดการณ์ได้อย่างแม่นยำก็ตาม
• ค่าผิดปกติ: ค่าเดียวที่อยู่ห่างออกไป 5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จะทำให้ค่า r เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าหรือลดลงเหลือครึ่งหนึ่ง
• ข้อมูลลำดับ: ใช้ค่า Spearman’s ρ (สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของลำดับ) แทน
• แบบไบนารีหรือแบบจำแนกประเภท: ใช้ค่า point-biserial, phi หรือ Cramer’s V ตามประเภทของข้อมูล

ความสัมพันธ์ไม่ได้หมายถึงเหตุและผล: หลักการพื้นฐาน

ตัวแปรสองตัวสามารถมีความสัมพันธ์กันอย่างเข้มแข็งได้ เนื่องจาก:

1. X เป็นสาเหตุของ Y
2. Y เป็นสาเหตุของ X
3. ตัวแปรที่สาม Z เป็นสาเหตุของทั้งสองปรากฏการณ์ (การปนเปื้อนข้อมูล)
4. ความบังเอิญโดยสมบูรณ์ (ในกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก)
5. ความลำเอียงในการคัดเลือกเกี่ยวกับวิธีการเก็บรวบรวมข้อมูล

ยอดขายไอศกรีมและจำนวนผู้เสียชีวิตจากการจมน้ำมีความสัมพันธ์กันในระดับ +0.8 ในช่วงเดือนฤดูร้อน อย่างไรก็ตาม ไอศกรีมไม่ใช่สาเหตุของการจมน้ำ เพราะสภาพอากาศที่ร้อนจัดคือสาเหตุหลักทั้งสองประการ

ขนาดของกลุ่มตัวอย่างและความสำคัญทางสถิติ

ค่า r ที่คำนวณจากกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กอาจทำให้เกิดความเข้าใจผิดได้ โดยเมื่อ n = 5 ค่า r = 0.5 จะไม่แตกต่างทางสถิติจากศูนย์ (p ≈ 0.4) แต่เมื่อ n = 100 ค่า r = 0.2 จะชัดเจนว่าไม่เป็นศูนย์ (p < 0.05) ควรระบุขนาดของกลุ่มตัวอย่างพร้อมกับค่า r เสมอ การใช้ค่า p-value กับค่า r เป็นวิธีการทดสอบสมมติฐานศูนย์ที่ว่าความสัมพันธ์จริงเท่ากับศูนย์