Softonic

เครื่องคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์

ขั้นตอน 1 / 3 การประมาณ
ถัดไป

อนุกรมเทย์เลอร์เขียนฟังก์ชันใหม่เป็นพหุนามที่สร้างจากอนุพันธ์ของมันที่จุดเดียว เปลี่ยนเส้นโค้งให้เป็นพีชคณิต เลือกหนึ่งในห้าฟังก์ชัน จุดศูนย์กลาง a และจำนวนพจน์ n แล้วเครื่องคำนวณนี้จะแสดงแต่ละพจน์ของพหุนามเทย์เลอร์พร้อมสัมประสิทธิ์และค่าของมัน รวมพจน์เข้าด้วยกันเป็นค่าประมาณ และเปรียบเทียบค่าประมาณนั้นกับค่าที่แน่นอน เพื่อให้คุณเห็นความคลาดเคลื่อนลดลงเมื่อคุณเพิ่มพจน์

วิธีคำนวณการกระจายเทย์เลอร์

  1. 1

    เลือกฟังก์ชัน

    เลือกหนึ่งในห้าฟังก์ชันที่มีให้: eˣ, sin(x), cos(x), ln(x) หรือ arctan(x)

  2. 2

    เลือกจุดศูนย์กลาง a

    a = 0 ให้อนุกรมแมกลอริน จุดอื่นให้อนุกรมเทย์เลอร์ที่จุดนั้น สำหรับ ln(x) จุดศูนย์กลางต้องมากกว่า 0

  3. 3

    กำหนดจำนวนพจน์ n

    ค่าใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 50 พจน์มากขึ้นหมายถึงความแม่นยำที่ดีขึ้นใกล้จุดศูนย์กลาง

  4. 4

    อ่านรายละเอียด

    ดูแต่ละพจน์ (ดัชนี k สัมประสิทธิ์ และค่า) ค่าประมาณที่รวมกัน ค่าที่แน่นอน และความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ระหว่างทั้งสอง

สูตร

สำหรับฟังก์ชัน f(x) ที่หาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดที่จุด a อนุกรมเทย์เลอร์รอบจุด a มีรูปแบบดังนี้:

f(x) = Σ (f^(n)(a) / n!) · (x - a)^n     for n = 0, 1, 2, ...

เมื่อ a = 0 สูตรนี้ลดรูปเป็นอนุกรมแมกลอริน ซึ่งเป็นการกระจายที่วิชาแคลคูลัสเบื้องต้นส่วนใหญ่สอนเป็นอันดับแรก

ฟังก์ชันที่เครื่องคำนวณนี้กระจาย

เครื่องคำนวณมีห้าฟังก์ชันนี้ อนุกรมที่แสดงเป็นรูปแมกลอริน (a = 0) ยกเว้น ln(x) ซึ่งไม่มีอนุกรมแมกลอรินเพราะไม่นิยามที่ 0 จึงต้องใช้จุดศูนย์กลาง a > 0

ฟังก์ชัน อนุกรม (รอบ a = 0 เว้นแต่ระบุไว้) ลู่เข้าสำหรับ
eˣ 1 + x + x²/2! + x³/3! + … ทุกค่า x จริง
sin(x) x − x³/3! + x⁵/5! − … ทุกค่า x จริง
cos(x) 1 − x²/2! + x⁴/4! − … ทุกค่า x จริง
ln(x) (ศูนย์กลาง a>0) ln(a) + (x−a)/a − (x−a)²/2a² + … 0 < x ≤ 2a
arctan(x) x − x³/3 + x⁵/5 − … −1 ≤ x ≤ 1

ตัวอย่าง: eˣ ที่ x = 1

ด้วยค่าตั้งต้น (ฟังก์ชัน eˣ, ศูนย์กลาง a = 0, 8 พจน์, ประเมินที่ x = 1) สัมประสิทธิ์แต่ละตัวคือ 1/k! และเนื่องจาก (x − a)^k = 1 แต่ละพจน์จึงเท่ากับสัมประสิทธิ์ของมัน:

k สัมประสิทธิ์ ค่าพจน์
0 1 1
1 1 1
2 0.5 0.5
3 0.166667 0.166667
4 0.041667 0.041667
5 0.008333 0.008333
6 0.001389 0.001389
7 0.000198 0.000198

แปดพจน์รวมกันได้ 2.7182540 ค่าที่แน่นอนของ e คือ 2.7182818 ดังนั้นความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์อยู่ที่ประมาณ 0.0000279 เพิ่มพจน์มากขึ้นแล้วความคลาดเคลื่อนจะยิ่งลดลง

ทำไมอนุกรมเทย์เลอร์จึงปรากฏอยู่ทุกหนแห่ง

  • เครื่องคิดเลขประเมินค่า sin, cos, exp ภายในโดยใช้พหุนามเทย์เลอร์ที่ถูกตัดทอน (และ CORDIC)
  • นักฟิสิกส์ทำให้สมการเป็นเชิงเส้น โดยคงไว้เพียงไม่กี่พจน์แรกรอบจุดสมดุล นี่คือที่มาของการประมาณมุมเล็กเช่น sin(x) ≈ x
  • วิธีเชิงตัวเลข (รุงเงอ-คุตตา, วิธีของนิวตัน) โดยพื้นฐานแล้วคือการกระจายเทย์เลอร์

จุดที่ต้องระวัง: การลู่เข้า

อนุกรมเทย์เลอร์มีประโยชน์เฉพาะที่มันลู่เข้าเท่านั้น อนุกรมแมกลอรินของ arctan(x) มีรัศมีการลู่เข้าเท่ากับ 1 ดังนั้นถ้าแทน x = 2 อนุกรมจะลู่ออก แม้ว่า arctan(2) ≈ 1.107 จะมีค่าจำกัดอย่างชัดเจน ให้ตรวจสอบรัศมีทุกครั้งก่อนประมาณค่านอกบริเวณใกล้จุดศูนย์กลาง

เศษเหลือลากรองจ์

ความคลาดเคลื่อนหลังตัดทอนที่อันดับ n ถูกจำกัดโดย:

|R_n(x)| ≤ M · |x - a|^(n+1) / (n+1)!

โดยที่ M คือขอบเขตบนของอนุพันธ์อันดับที่ (n+1) บนช่วงนั้น นี่คือขอบเขตทางทฤษฎี ส่วนเครื่องคำนวณจะรายงานความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์จริง คือผลต่างระหว่างค่าประมาณกับค่าที่แน่นอน

คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมแมกลอรินก็คืออนุกรมเทย์เลอร์ที่กระจายรอบ a = 0 เท่านั้น อนุกรมแมกลอรินทุกอนุกรมเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ ชื่อนี้เป็นคำย่อทางประวัติศาสตร์สำหรับกรณีที่มีจุดศูนย์กลางที่ศูนย์ ตั้งจุดศูนย์กลางเป็น 0 ในเครื่องมือนี้แล้วคุณจะได้อนุกรมแมกลอริน

เมื่อคุณต้องการค่าประมาณที่ดีใกล้ค่า x หนึ่งซึ่งอยู่ไกลจากศูนย์ หากต้องการประมาณ ln(x) ใกล้ x = 2 ให้ตั้งจุดศูนย์กลาง a = 2 ตรงนั้นลู่เข้าเร็วกว่า และสำหรับ ln(x) ต้องใช้จุดศูนย์กลางที่เป็นบวกอยู่แล้ว

ได้เฉพาะเมื่อมันหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดที่จุดศูนย์กลาง ตัวอย่างที่ไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์ (เช่น f(x) = e^(-1/x²) โดยให้ f(0) = 0) มีอนุพันธ์ทุกอันดับเป็นศูนย์ที่ 0 แต่ไม่เป็นศูนย์ที่อื่น อนุกรมเทย์เลอร์จึงลู่เข้าสู่คำตอบที่ผิด

ขึ้นอยู่กับว่าคุณประเมินไกลจากจุดศูนย์กลางแค่ไหน และขนาดของอนุพันธ์อันดับสูง ให้เฝ้าดูคอลัมน์ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ในเครื่องมือ เพิ่มจำนวนพจน์จนกว่าความคลาดเคลื่อนจะหยุดลดลงอย่างมีนัยสำคัญ

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

ตัวแปลง kW เป็นแอมป์

แปลงกิโลวัตต์เป็นแอมป์สำหรับวงจร DC เฟสเดียว และสามเฟส รวมแรงดันจ่ายและตัวประกอบกำลังเพื่อการกำหนดขนาดทางไฟฟ้าที่แม่นยำ

ตัวแปลงตัวเลขเป็นคำอ่านภาษาอังกฤษ

แปลงตัวเลขใด ๆ เป็นคำภาษาอังกฤษ: จำนวนนับ (one thousand) ลำดับที่ (first) หรือจำนวนเงิน (dollars, euros, pounds) รองรับทศนิยม จำนวนติดลบ และค่ามหาศาล

เครื่องคำนวณขนาดเครื่องลดความชื้น

ประเมินกำลังเครื่องลดความชื้นแบบเคลื่อนย้ายได้จากพื้นที่และระดับความชื้นตามคำแนะนำ ENERGY STAR ปัจจุบัน

เครื่องคำนวณอัตราส่วนกำลังอัด

คำนวณอัตราส่วนกำลังอัดของเครื่องยนต์จากขนาดกระบอกสูบ ช่วงชัก และปริมาตรห้องเผาไหม้ รับผลลัพธ์เป็น X.X:1 พร้อมปริมาตรกวาดต่อสูบ ได้ทันทีในเบราว์เซอร์

เครื่องคำนวณเวลาจากขณะนี้

คำนวณเวลาจริงของนาฬิกาที่อยู่ห่างจากปัจจุบันไป N นาที รองรับการเปลี่ยนวัน การแสดงเวลาแบบ 12 ชั่วโมงหรือ 24 ชั่วโมง และเขตเวลาต่างๆ

เครื่องแปลง mL เป็นกรัม

แปลงมิลลิลิตรเป็นกรัมโดยใช้ความหนาแน่นของส่วนผสม น้ำ 1 mL = 1 g แต่ค่าของน้ำมัน แป้ง นม และน้ำผึ้งจะต่างกัน

เครื่องมือนี้มีให้บริการในภาษาอื่น